Родился в 1983 году. В 1999 году окончил Box Hill School в Лондоне, в 2004 году — Финансовую академию при правительстве РФ по специальности "финансовый менеджмент". В 2002-2004 годах руководитель по стратегии и развитию компании "Грумант-С", которая занималась снабжением сырьем ОАО "Первоуральский новотрубный завод" (в эти годы главой наблюдательного совета ОАО был его отец Зелимхан Муцоев). Сейчас Амиран Муцоев член совета директоров, директор по развитию и совладелец группы "Регионы" (принадлежит 33,33% бизнеса). В юности три года играл в баскетбольной команде ЦСКА и входил в юношескую сборную Москвы по этому виду спорта.