В 1992-1995 годах работал в отделе валютных операций банка "Синектика" (ликвидирован в июле 1998 года). С 1995 года стал начальником управления ценных бумаг и начальником управления валютных операций Галлабанка (Узбекистан). В 1996 году закончил Ташкентский государственный экономический университет по специальности "бухгалтерский учет и аудит".
С 2000 года заместитель гендиректора НПО "Экран", затем сотрудник Омского социально-коммерческого банка (ныне — Сибирский банк развития бизнеса). По данным СМИ, также работал в центральном аппарате Министерства финансов РФ.26 февраля 2001 года назначен министром финансов Чечни. 10 января 2003 года глава администрации республики Ахмат Кадыров освободил Сергея Абрамова от занимаемой должности. Вокруг этого решения возник конфликт, в результате которого ушел в отставку глава правительства Чечни Михаил Бабич.
Затем Сергей Абрамов работал в Счетной палате РФ, возглавлял комиссию по оперативному контролю за расходованием бюджетных средств в Чеченской республике.
Заочно учится в Академии госслужбы при президенте РФ. Награжден знаком Минфина РФ "Отличник финансовой работы".
Женат.