Родился в 1946 году в Уфе, русский. В 1964 году поступил в Курганский машиностроительный институт, где в 1968 году прошел курс военной подготовки по специальности "военный инженер". В 1969 году призван в армию на два года лейтенантом, в 1971-м зачислен по собственному желанию в кадровый офицерский состав. Командовал танковой ротой, полком, дивизией, армией. Закончил Академию бронетанковых войск и Академию Генерального штаба (с отличием). С августа 1993 по февраль 1995 года — заместитель и первый замначальника главного оперативного управления ГШ. С февраля 1995 года — командующий войсками Северо-Кавказского военного округа. Досрочно получал звания майора, подполковника и полковника. Награжден орденом "За службу Родине в ВС СССР".
Квашнин получил широкую известность в декабре 1994 года. После провала плана ввода федеральных войск в Чечню был отстранен от должности командующий Северо-Кавказским военным округом Алексей Митюхин, а сразу несколько генералов отказались от предложения Павла Грачева возглавить федеральную группировку. Квашнин, в то время занимавший должность первого замначальника главного оперативного управления ГШ и принимавший участие в разработке плана операции, изъявил желание поехать в Чечню и возглавить федеральные войска. Его деятельность на посту командующего группировкой федеральных сил и командующего СКВО вызывает противоречивые оценки. С одной стороны, с его приездом российские войска добились определенных успехов, особенно весной 1995 года, в чем большая заслуга лично Квашнина. С другой, в определенной степени и на его совести неудачный штурм Грозного 1 января 1995 года и общий печальный итог чеченской кампании.
В Генштабе к Квашнину относятся с некоторым недоверием, многие считают его чрезмерно самолюбивым. Негативное отношение к Квашнину вызвано и тем, что он не заканчивал военного училища — таких в армии традиционно называют "пиджаками". Хотя в пользу Квашнина говорит опыт работы в Генштабе, причем в его ведущем главке. Тем не менее Ельцин Квашнина знает (по меньшей мере однажды они встречались один на один в начале 1996 года — такая честь выпадает не каждому командующему округом) и в последнее время был к нему явно расположен. Фамилия Квашнина то и дело "всплывала", когда речь шла о возможных кадровых назначениях на высшие воинские должности.