Яков Григорьевич Синай родился в 1935 году в семье ученых-микробиологов. Его мать, Надежда Вениаминовна Каган, погибла спустя три года, заразившись препаратом вируса энцефалита в своей лаборатории. Яков поступил на механико-математический факультет МГУ, который окончил в 1957 году, и оставался там сначала в качестве научного сотрудника, а потом (с 1971 года) — профессора. Женат на Елене Вул, дочери известного советского физика Бенциона Вула. С 1962 года работал также в Институте теоретической физики им. Л. Д. Ландау. В 1993 году уехал в США, стал профессором математики Принстонского университета.
Основные работы Синая связаны с теорией вероятностей, теорией динамических систем и эргодической теорией. Его именем названы энтропия Колмогорова-Синая, биллиарды Синая, гипотеза случайного блуждания Синая, мера Синая-Боуэна-Рюэля и теория Пирогова-Синая. Член и почетный член множества математических обществ. Автор более 250 научных статей.