Алексей Фадеечев родился в 1960 году в семье артистов балета Большого театра (народный артист СССР Николай Фадеечев, его отец, четверть века был премьером Большого театра). Фадеечев-сын окончил МХУ в 1978 году и был принят в Большой театр, где в первые же сезоны занял положение ведущего солиста. Танцевал главные партии текущего репертуара; предпочитал амплуа романтического героя. Был основным партнером Нины Ананиашвили — первой отечественной балерины, которой удалось сделать международную карьеру. Начиная с 80-х был занят в большинстве постановок Васильева-хореографа.
В 1987-м получил звание заслуженного, в 1997-м — народного артиста России. В 1988 году окончил балетмейстерско-педагогический факультет ГИТИСа, что свидетельствовало об умении идти в ногу со временем — в те годы высшее образование считалось необходимым придатком к положению солиста балета. Отличается сдержанностью и толерантностью. В конфликтах трехгодичной давности, связанных со сменой руководства в Большом, не участвовал.