Алексей Коробов родился 30 ноября 1967 года в Ленинграде. С 1986 по 1988 год служил в Советской армии. В 1988-1993 годах учился в академии Министерства безопасности России по специальности "правоведение", получил квалификацию юриста со знанием французского и бирманского языков. По окончании академии служил в УФСБ Санкт-Петербурга. С 1998 года — полковник запаса. В период с 1998 по ноябрь 2004 года являлся вице-президентом региональной общественной организации "Отделение Международного союза экономистов в Санкт-Петербурге", советником первого заместителя полпреда президента в Северо-Западном округе, руководителем аппарата комитета по бюджету и налогам Госдумы РФ. С ноября 2004 Алексей Коробов работает в Российском фонде федерального имущества, где до назначения на должность первого заместителя председателя фонда исполнял обязанности помощника председателя и руководителя аппарата РФФИ.