Родился 31 октября 1952 года в селе Хабез в Карачаево-Черкесии. Окончил Карачаево-Черкесский пединститут (1976), позже заочно получил юридическое образование. Работал слесарем, служил в армии. С 1976 года — второй секретарь Карачаевского райкома комсомола, затем инструктор райкома КПСС. Впоследствии руководил бытовым комбинатом и кинотеатром. В 1984 году перешел в управление строительства тепличного комбината "Южный" Главмоспромстроя. В начале 1990-х годов возглавлял компании "Южное" и "Югинвест". Первая строила дачи в Подмосковье для чиновников. Вторая занималась оптовой торговлей и упоминалась в СМИ в связи с пропажей денег клиентов, но официально обвинения не подтверждались.
В 1994 году тогдашним генпрокурором Алексеем Ильюшенко назначен начальником управления делами Генпрокуратуры. Вскоре в прессе стали появляться сведения о "прокручивании" средств ведомства в Московском национальном банке Ашота Егиазаряна. В 1999 году "Новая газета" сообщила, что именно господин Хапсироков распространил видеозапись с компроматом на генпрокурора Юрия Скуратова (управделами добился в суде опровержения). Сам экс-генпрокурор публично заявлял, что его завхоз был "очень влиятельной фигурой и позволял себе вмешиваться в вопросы ведения конкретных уголовных дел". Также сообщалось о его близких связях с предпринимателем Борисом Березовским, которому он якобы помог избраться в Госдуму от Карачаево-Черкесии.
В январе 2000 года старший следователь по особо важным делам Сергей Гребенщиков в рапорте на имя и. о. генпрокурора Владимира Устинова выдвинул версию о том, что управделами препятствует расследованию дела против первого замминистра финансов Владимира Петрова и предположительно получил за это $1 млн. Обвинения не подтвердились, но господин Хапсироков вскоре перешел на работу в Межпромбанк. 1 февраля 2001 года глава администрации президента Александр Волошин назначил его своим помощником. Господин Хапсироков сохранял должность при остальных главах администрации, однако о его конкретных обязанностях не сообщалось.
Был женат. Двое сыновей, один из которых в 2009 году стал полпредом Адыгеи при президенте РФ.