Родился 1 июня 1957 года в Чите. Окончил Челябинский техникум железнодорожного транспорта (1976), Московскую государственную юридическую академию (1996). Служил в армии, трудился помощником машиниста, машинистом на Южно-Уральской железной дороге. В 1990 году избран народным депутатом РСФСР, работал в комиссии по социальной политике, входил в депутатские объединения "Демократическая Россия", "Рабочий союз России", "Чернобыль". В 1993-1994 годах — ведущий специалист отдела управления информационно-технологического обеспечения аппарата Федерального собрания. С 1994 года — в администрации президента, занимал должности консультанта и руководителя группы. В 1996 году назначен заместителем начальника Главного управления внутренней политики администрации президента РФ — начальником отдела по взаимодействию с Федеральным собранием. С 16 февраля 2001 года — начальник Главного управления внутренней политики. 5 апреля 2004 года назначен полномочным представителем президента Владимира Путина в Госдуме. 14 мая 2008 года переназначен на этот пост новым президентом Дмитрием Медведевым.
Полномочный представитель президента в Госдуме должен обеспечивать представление его интересов и способствовать "реализации конституционных полномочий главы государства в Государственной думе". На практике это означает максимально быстрое продвижение через Госдуму законопроектов, устраивающих главу государства, блокирование законопроектов, президенту не нужных, а также нейтрализация любых антипрезидентских инициатив. Однако господину Косопкину довелось работать с нижней палатой пятого и шестого созыва, в которых конституционное большинство составляли депутаты от пропрезидентской партии "Единая Россия", которые с готовностью поддерживали законодательные инициативы, исходившие от президента и правительства. Что касается законопроектов, которые могли бы не устроить главу государства, то они благодаря выстроенной внутри Госдумы системе не имели шансов дойти даже до первого чтения. Соответственно, в отличие от своих предшественников, Александра Яковлева (представителя президента в Госдуме с 1994-го по 1995 год) и Александра Котенкова (представитель президента в Госдуме с 1996-го по 2004 год), господину Косопкину в его нынешней должности практически не пришлось преодолевать сопротивление депутатского корпуса или отражать атаки на президента. В последнее время Александр Косопкин мог сосредоточиться на представлении самых важных президентских законопроектов: поправок к Конституции, антикоррупционном законодательстве.
Кандидат психологических наук, автор научных трудов о психологических аспектах работы парламента и лоббизма.