Александр Анатольевич Рекеть родился 13 декабря 1962 года в городе Свислочь в Белоруссии. В 1984 году окончил Симферопольское высшее военно-политическое строительное училище. Служил в Забайкальском военном округе, был заместителем по воспитательной работе командира 315-го военно-строительного полка (Подмосковье). С мая 1994 года — начальник канцелярии военного суда в Московском военном округе. С декабря 1995 года — судья военного суда Московского гарнизона. С июля 2002 года — судья Московского окружного военного суда. В марте 2005 года стал председателем Солнечногорского гарнизонного военного суда. 20 ноября 2009 года назначен председателем Мещанского районного суда Москвы.
Под юрисдикцию суда попадают Мещанский и Красносельский муниципальные районы Москвы, включая восемь участков мировых судей. Мещанский райсуд рассматривает уголовные дела и материалы, возбужденные Московским межрегиональным следственным управлением следственного комитета России (СКР) на транспорте, главным следственным управлением СКР по Московской области, следственной службой УФСБ по Москве и области, следственным управлением УВД на Московском метрополитене и т. д.
Наиболее известным делом суда был первый процесс над Михаилом Ходорковским и Платоном Лебедевым, в мае 2005 года получившими по девять лет лишения свободы. Позже Мосгорсуд снизил каждому срок на год.
В марте 2010 года Александр Рекеть внес представление в квалификационную коллегию московских судей о прекращении полномочий судьи Натальи Зятевой, которая обвинялась в халатности, грубости и непрофессионализме. В итоге госпожа Зятева уволилась по собственному желанию.