Родился 28 октября 1946 года в Пугачеве (Саратовская область). В 1979 году окончил Саратовский юридический институт. Трудился наладчиком станков, мастером на оборонном предприятии. В системе исполнения наказаний с 1970 года, начинал инспектором оперативной части колонии строгого режима N 13 в Саратовской области. В 1977-1982 годах возглавлял ряд колоний, с 1982 года начальник управления исправительно-трудовых учреждений Саратовской области. С 1988 года в центральном аппарате МВД СССР занимал должности начальника управления, заместителя, а затем начальника отдела исправительно-трудовых учреждений и социальной реабилитации. В 1992 году назначен руководителем ГУИН МВД РФ. В феврале 1997 года снят с должности. Министр Анатолий Куликов тогда сообщил, что экс-глава ГУИН подозревается в неправомерном расходовании бюджетных средств, однако обвинения не подтвердились. В том же году господин Калинин стал заместителем главы департамента законодательства о госбезопасности и правоохранительной деятельности Минюста, а в июле 1998 года заместителем министра. 15 декабря 2004 года назначен директором ФСИН.
В июле 2005 года незадолго до решения вопроса о том, где будут отбывать наказание экс-владельцы НК ЮКОС, глава ФСИН своим указанием расширил список регионов, куда можно отправлять осужденных из Москвы. В результате Михаила Ходорковского отправили в Читинскую область, а Платона Лебедева — в Ямало-Ненецкий автономный округ. В ноябре 2006 года в ходе прямой линии с президентом Владимиром Путиным заключенный колонии N 12 (Пермский край) пожаловался на произвол тюремной администрации. Проверка Генпрокуратуры подтвердила нарушения. После этого господин Калинин подал рапорт об отставке по возрасту, но его отклонили. В феврале 2008 года ФСИН вновь оказалась в центре скандала, когда выяснилось, что ее сотрудники приковывают бывшего вице-президента ЮКОСа Василия Алексаняна к больничной кровати. Юрий Калинин тогда заявил, что это "предусмотрено инструкциями".
Генерал-полковник юстиции. Награжден двумя орденами Мужества, орденом Трудового Красного Знамени, орденом "За заслуги перед Отечеством" II, III и IV степеней.