Игры разума: в поисках равновесия

Широкой публике Джон Форбс Нэш-младший в основном известен по фильму «Игры разума» с Расселлом Кроу в главной роли. В 1994 году Джон Нэш стал лауреатом премии Шведского национального банка по экономическим наукам памяти Альфреда Нобеля — за анализ равновесия в теории некооперативных игр. Равновесие Нэша — одна из важнейших концепций теории игр, применимая ко многим ситуациям в экономике и бизнесе.

Выйти из полноэкранного режима

Развернуть на весь экран

Две степени

«Мое происхождение как юридически зарегистрированного индивидуума приходится на 13 июня 1928 года в Блуфилде, Западная Вирджиния, и имело место в Блуфилд Санитариум — больнице, которой уже больше не существует». Так начинается автобиография Джона Форбса Нэша-младшего. Отец мальчика, Джон Форбс-старший, был инженером-электриком. Мать до замужества работала учительницей английского языка и латыни, но после перенесенной скарлатины частично потеряла слух, на чем ее учительская карьера завершилась.

Джон-младший еще в старших классах школы начал посещать лекции по математике в городском колледже (в 2021 году переименован в Блуфилдский университет). После школы, получив полную стипендию из фонда Джорджа Вестингхауза (на нее могли претендовать дети работников корпорации Westinghouse), Нэш поступил в Технологический институт Карнеги (позднее вошедший в состав Университета Карнеги—Меллона). В институте он несколько раз менял специализацию. Сначала учился на инженера-химика. Наскучило черчение — перешел на специальность «химия». Тоже не понравилось — работать в лаборатории было неинтересно. Интересно было изучать и сопоставлять факты. Кто-то дал юноше добрый совет — и Джон занялся математикой. Это у него получалось так хорошо, что обучение в институте он закончил с двумя степенями — бакалавра и магистра.

Завкафедрой и другие

Выйти из полноэкранного режима

Развернуть на весь экран

Талантливого молодого математика готовы были принять и дать ему стипендию и Гарвард, и Принстон. Одним из самых популярных профессоров Принстонского университета был математик Альберт Такер. На его лекциях аудитория всегда была переполнена. Может быть, студенты Такера чувствовали, какое будущее их ждет, если он согласится стать их научным руководителем? Ллойд Стауэлл Шепли — что станет обладателем премии имени Нобеля по экономике? Марвин Ли Минский — что получит премию Тьюринга и как сооснователь Лаборатории искусственного интеллекта в Массачусетском технологическом институте приобретет неофициальный титул «отец ИИ»?

Альберт Такер написал юноше письмо, рекомендуя выбрать Принстон. Институтский преподаватель вручил Нэшу рекомендательное письмо, предназначенное завкафедрой математики Принстонского университета Соломону Александровичу Левшецу. Письмо датировано 11 февраля 1948 года, и его имеет смысл процитировать полностью:

«Уважаемый профессор Лефшец!

Настоящим рекомендую мистера Джона Ф. Нэша-младшего, который подал заявление о поступлении в аспирантуру Принстонского университета.

Мистеру Нэшу 19 лет, и в июне он заканчивает Технологический институт Карнеги. Он — математический гений.

Искренне ваш, Ричард Даффин».

Позднее Такер написал: «Тогда я посчитал эту рекомендацию экстравагантной, но чем дольше я знаю Нэша, тем больше я склоняюсь к тому, что Даффин был прав».

В пользу выбора Принстона говорил еще один факт. От Блуфилда до Гарварда 12 часов езды на машине, а до Принстона — примерно восемь с половиной часов.

Нэш предпочел Принстон. И оказался в нужном месте в очень интересное время. В Принстоне работали величайшие ученые XX века — Альберт Эйнштейн, Курт Гедель, Роберт Оппенгеймер, Джон фон Нейман, Оскар Моргенштерн.

В 1928 году фон Нейман опубликовал статью «О теории стратегических игр» (Zur Theorie der Gesellschaftsspiele). В 1944 году Джон фон Нейман и Оскар Моргенштерн выпустили классическую работу «Теория игр и экономическое поведение».

Джона Нэша заинтересовала теория игр. Рассказывают, что в 1949 году Нэш пришел в кабинет фон Неймана, который был погружен в мысли о разработке еще более совершенной архитектуры ЭВМ или еще более мощной атомной бомбы. Молодой докторант начал объяснять мэтру свою теорию, но тот его оборвал словами: «Примитивно. Это всего лишь теорема о неподвижной точке».

Выйти из полноэкранного режима

Развернуть на весь экран

Впоследствии Нэш удивлялся, когда ему разрешили взять в качестве темы докторской диссертации свою теорию, которая, как он шутил, отклонялась от генеральной линии партии.

В ноябре 1949 года Соломон Лефшец передал в журнал PNAS (Proceedings of the National Academy of Sciences) статью Нэша «Точки равновесия в играх с n-числом участников» (Equilibrium points in n-person games). В ней была сформулирована концепция, получившая название «равновесие Нэша», ставшая одним из ключевых понятий теории игр.

Весной 1950 года по просьбе знакомого профессора с факультета психологии Альберт Такер провел семинар по теории игр. На нем он дал имя проблеме, которую сформулировали Меррилл Флуд и Мелвин Дрешер,— «дилемма заключенного» (prisoner’s dilemma). Суть дилеммы такова. Арестованы два члена преступной организации — А и В.

Обоих содержат в камерах-одиночках, общаться или обмениваться сообщениями они не могут. Полиция знает, что для осуждения по тяжкому обвинению не хватает улик. По менее тяжкому их можно приговорить к одному году тюрьмы каждого. Полицейские предлагают арестованным сделку. Тот, кто даст показания на партнера, выйдет на свободу, а партнер получит три года тюрьмы по более серьезному обвинению. Если оба дадут показания друг против друга, каждого приговорят к двум годам тюрьмы. Оба знают, что другому предложена такая же сделка. Им нужно принять решение — молчать или дать показания.

Если на принятие решения не оказывают влияния дополнительные факторы (личные отношения, боязнь мести и т. п.), то самая выигрышная стратегия будет выглядеть так. Заключенный А понимает, что, если он будет молчать и В будет молчать, оба выйдут на свободу через год. Это в лучшем случае. А в худшем случае В может согласиться давать показания, тогда его освободят, а сам А сядет на три года. Если же А решит дать показания на товарища, то трехлетнего заключения он избежит — и в зависимости от поведения другого члена банды выйдет на свободу или сразу, или через два года. При таком раскладе худший вариант — два года тюрьмы. Два явно лучше, чем три, так что имеет смысл дать показания. Поскольку В будет размышлять таким же образом, то самой выигрышной стратегией для обоих будет дача показаний.

На первый взгляд это может показаться неправильным. Как так? Попробуем поставить себя на место одного из заключенных и восстановить возможный ход его рассуждений? «Сидеть год лучше, чем три. У копов на нас ничего нет. Если я заговорю — получу два, буду молчать — год. Значит, нужно молчать». Но такая стратегия будет выигрышной только в случае, если второй тоже будет молчать. Но договориться с ним нет возможности. Рациональное решение — давать показания (приверженность воровским понятиям, закон омерты и прочие нерациональные факторы в данном случае не учитываются).

После семинара Альберта Такера по теории игр Нэш написал статью на эту тему — «Проблемы заключения сделок» (The Bargaining Problem). Опубликована она была в апреле 1950 года в журнале Econometrica. Нэш утверждал, что основная мысль статьи пришла ему в голову еще раньше, в институте Карнеги — под влиянием курса по международной торговле. По отзывам нескольких ученых, к статье мог приложить руку Оскар Моргенштерн, который дописал имена четырех математиков, ранее исследовавших сходные проблемы, начиная с Антуана Огюстена Курно (годы жизни — 1801–1877), работы которых Нэш, скорее всего, не читал.

22 мая 1950 года Джон Нэш защитил диссертацию, тема — «Некооперативные игры».

В рецензии на диссертацию Альберт Такер писал: «Это весьма оригинальный и важный вклад в теорию игр. В ней развиваются понятия и свойства некооперативных игр, конечных игр с n-числом участников, которые сами по себе очень интересны и могут открыть множество ранее не исследованных проблем, лежащих за пределами случая игры двух лиц с нулевой суммой. Как замысел, так и исполнение диссертации полностью принадлежат автору».

Некооперативные игры в теории игр — игры, в которых каждый игрок играет сам за себя. Кооперативные — такие, в которых группы игроков могут объединять свои усилия, создавая коалиции.

За идеи, высказанные в диссертации и двух статьях, 45 лет спустя Джону Нэшу была присуждена Нобелевская премия по экономике. Так в чем же смысл равновесия Нэша, почему оно занимает ключевое положение в теории игр, как оно применяется в экономических отношениях?

Универсальное равновесие

В теории игр под игрой понимается процесс, в котором участвуют две и более стороны, каждая из которых преследует свои интересы и использует свою стратегию. Стратегия может привести к выигрышу или проигрышу — в зависимости от поведения других игроков. Но, если все игроки ведут себя рационально, возникает равновесие, при котором каждый из участников принимает наилучшее возможное решение, учитывая действия других, и не может улучшить свое положение, изменив свою стратегию. Это и есть равновесие Нэша, наиболее распространенная концепция решения для некооперативных игр.

Дилемма заключенного является иллюстрацией равновесия Нэша. Ни А, ни В не могут гарантированно улучшить свое положение, то есть выйти на свободу. Игра некооперативная, каждый сам за себя. Равновесие складывается иначе.

Концепцию можно применить к многочисленным ситуациям в экономике, бизнесе, потребительском поведении, в которых каждый игрок (международная или государственная структура, компания, менеджер, покупатель) принимает наилучшее возможное решение, учитывая действия других.

Еще раз, немного другими словами — каждый игрок выбирает лучшую в данной ситуации стратегию, предполагая, что другой игрок (игроки) тоже выберет оптимальную для себя стратегию.

Дилемма заключенного повсюду

Посмотрим, как выглядит установление равновесия Нэша на конкретных примерах.

Предположим, что две авиакомпании — А и В — получили лицензию на выполнение полетов между двумя соседними городами — городом 1 и городом 2. Топ-менеджменту обеих компаний нужно принять решение — какую цену установить на билеты — высокую или низкую. Это и есть две стратегии.

Посмотрим на ситуацию с точки зрения заключенного… простите, руководства компании А. Цель бизнеса — получение прибыли (громкие слова о миссии компании в данном случае не принимаются в расчет, как и воровские понятия в примере с заключенными). Нужно составить прогноз возможной прибыли при выборе каждой из стратегий. В расчет принимаются следующие факторы: спрос (сколько пассажиров летит при высокой цене на авиабилеты, а сколько при низкой), издержки (зарплата экипажа самолета, цена горючего, аэродромные сборы и т. п.), распределение долей рынка при разных ценах у двух компаний.

Всего возможны четыре стратегии: обе компании выставляют высокую цену; А предлагает высокую цену, В — низкую; А выбирает низкую цену, В — высокую; обе компании выставляют низкую цену.

Предположим, что высокая цена — 60 у. е. за билет, низкая — 40 у. е. В день каждая компания выполняет по одному рейсу. Расходы на один рейс — 10 у. е.

Если обе компании выберут высокую цену, покупать билеты по такой цене смогут, скажем, 120 человек. А и В получают по 50% рынка, каждая авиакомпания перевозит ежедневно по 60 человек и получает прибыль в размере 60 х (60 у. е. – 10. у. е. = 50 у. е.) = 3000 у. е.

Если обе компании выберут низкую цену, число желающих купить авиабилеты вырастет (при высокой цене кто-то предпочитает поехать в другой город на поезде, автобусе или вовсе остаться дома). Каждая компания сможет перевозить по 90 человек в день. Рынок по-прежнему разделен пополам. Каждая из компаний зарабатывает ежедневно 90 х (40 у. е. – 10 у. е. = 30 у. е.) = 2700 у. е. Для обеих компаний это менее выгодно, чем продавать билеты по высоким ценам. На первый взгляд — плохая стратегия.

Посмотрим, что будет, если А выставляет высокую цену, а В — низкую. Потенциальных пассажиров по-прежнему 180, как и в случае с низкой ценой у обеих компаний. Больше никому в соседний город просто не нужно. Но часть желающих полететь предпочтет купить более дешевые билеты. Часть, а не все (если бы так поступали все, в самолетах не существовало бы бизнес-класса, а с появлением бюджетных перевозчиков разорились бы традиционные авиакомпании). В результате А ежедневно перевозит 36 человек и получает прибыль в размере 36 х (60 у. е. – 10 у. е. = 50 у. е.) = 1800 у. е. Авиакомпания В перевозит каждый день 144 пассажира и получает прибыль в размере 144 х (40 у. е. – 10 у. е. = 30 у. е.) = 4320 у. е. В случае если А выбирает низкую цену, а В — высокую, цифры будут теми же, что и в предыдущем случае, только поменяются местами. В обоих случаях в выигрыше остается та компания, которая продает билеты по более низкой цене. А та, что будет предлагать дорогие авиабилеты, сильно проиграет.

Но где гарантия, что конкурент тоже не выберет низкую цену?

Если исключить вариант картельного сговора (как и в случае договоренности заключенных обоим молчать), то предположить, что конкурент выберет высокую цену, нельзя. И рациональной стратегией для обеих авиакомпаний будет продажа билетов по низкой цене.

Разумеется, это только модель, к тому же сильно упрощенная, в реальной жизни компаний на маршруте может быть не две, даже у двух компаний может быть разная репутация, влияющая на выбор покупателей, спрос на билеты зависит от дня недели, времени года, праздников и других факторов и т. д. и т. п.

Тем не менее, как видно из исследования «An assessment of Nash equilibria in the airline industry», опубликованного в бесплатном электронном архиве научных статей HAL, в период с 2003 по 2016 год равновесие Нэша являлось надежным ориентиром для 70–90% маршрутов на американском рынке авиаперевозок.

Ситуаций, в которых устанавливается равновесие Нэша, множество. Две крупные компании C и P производят похожие безалкогольные напитки. Цена продукции уже давно стабилизировалась. Главный способ попытаться отвоевать у конкурента долю рынка — реклама. Наиболее выигрышная возможная стратегия для обеих компаний — крупные расходы на рекламу. Иначе равновесие установится на более выгодном для конкурента уровне.

Две крупные технологические компании А и S ежегодно представляют смартфоны нового поколения. Провести шоу с показом новинок слишком рано — невыгодно: в смартфонах обнаружится много багов, покупатели будут недовольны. Провести слишком поздно? За это время конкурент представит свои флагманские модели. Обе компании приходят к тому, чтобы представлять новые модели примерно в одно и то же время каждый год — никто не выигрывает, никто не проигрывает.

Участники игры не обязательно должны быть разными бизнес-структурами. Это могут быть страны, торговые объединения, группы людей. Еще один пример, актуальный для многих. Работник Я обращается к своему начальнику Н с просьбой повысить ему зарплату. Я может выбрать одну из двух стратегий — просить о серьезной прибавке или о небольшой, умеренной, ну хотя бы на уровне инфляции. У Н тоже две основные стратегии — щедрая (повысить зарплату в соответствии с просьбой работника) и скупая (дать прибавку меньшего размера, а то и вовсе не повышать зарплату). Если Я просит много, а получает мало или ничего, то он остается в проигрыше, он недоволен. Н — в относительном выигрыше. Он сэкономил фонд зарплаты, но подпортил отношения с работником. Если Н соглашается сильно увеличить зарплату, то Я будет, естественно, доволен. Он выиграл. Н потерял в деньгах, но может надеяться на большую отдачу со стороны Я. В случае если Я просит мало, а получает еще меньше или ничего — в определенной степени недовольны будут оба. Причин радоваться нет ни у кого. Возможно, каждый будет считать другого жадным крохобором. Наконец, последняя стратегия. Я просит о скромной прибавке и ее получает. Обе стороны сохраняют хорошие отношения, все в выигрыше. Именно так устанавливается равновесие Нэша.

Это опять же упрощенная модель. У работника может быть востребованная специальность, например курьера по доставке продуктов или специалиста по технологиям искусственного интеллекта. Он может смело просить о многом, а в случае отказа — положить на стол начальника заявление об увольнении по собственному желанию. Или, наоборот, начальник может знать, что легко заменит работника, у него за забором еще десять желающих на это рабочее место стоят. Смысла повышать зарплату нет.

Реальный мир всегда сложнее, чем модель. Важен принцип, по которому принимается рациональное решение.

Интуитивно люди, если они мыслят рационально, используют или хотя бы пытаются использовать принцип равновесия Нэша каждый день, принимая лучшие для себя решения с учетом поведения окружающих.

Пропавшие годы

Выйти из полноэкранного режима

Развернуть на весь экран

Те, кто смотрел фильм «Игры разума», знают, как сложилась жизнь Джона Нэша. Для тех, кто не знает,— краткий пересказ. В 1957 году Нэш женился на Алисии Ларде Лопес-Харрисон, одной из немногих женщин, учившихся тогда в Массачусетском технологическом институте. В 1958 году в журнале Fortune появилась статья Джорджа Бема о теории игр и других направлениях «новой математики», в которой Нэш был назван одной из звезд современной математики.

Кандидатура Нэша была выдвинута на должность полного профессора в Массачусетском технологическом институте (обычно редко кому удается стать полным профессором до 40 лет).

А потом все резко изменилось. 31 декабря 1958 года Нэш с супругой пришли на костюмированную новогоднюю вечеринку в доме профессора математики Юргена Курта Мозера. Нэш был голым, если не считать детского подгузника и пояса, на котором были написаны цифры 1959.

Нэшу казалось, что люди в красных галстуках, члены «криптокоммунистической партии», следят за ним в кампусе Массачусетского технологического института и посылают ему секретные сигналы. Этих людей он считал частью «системы», заговора против него. Нэш писал письма коллегам-математикам о том, что «пришельцы из космоса» разрушают его карьеру. Нэш отказался от предложенного ему места заведующего кафедрой в Чикагском университете, отправив письмо, в котором заявил, что ему предназначено стать императором Антарктиды.

Выйти из полноэкранного режима

Развернуть на весь экран

Во время лекции математика Эудженио Калаби Нэш встал с места и заявил, что его портрет напечатан на обложке журнала Life, он на нем предстает в обличье папы римского Иоанна XXIII. Калаби сделал вид, что ничего не произошло.

Из автобиографического эссе Джона Нэша, написанного в связи с присуждением ему премии Шведского национального банка по экономическим наукам памяти Альфреда Нобеля: «Психические расстройства начались в первые месяцы 1959 года, когда Алисия забеременела. В результате я оставил должность преподавателя в Массачусетском технологическом институте и в конечном итоге, проведя 50 дней под “наблюдением” в больнице Маклина, отправился в Европу и попытался получить там статус беженца.

Позже я провел от пяти до восьми месяцев в больницах штата Нью-Джерси, всегда в принудительном порядке и всегда пытаясь найти законные аргументы в пользу освобождения.

Случилось так, что после достаточно долгой госпитализации я наконец отказался от своих бредовых гипотез и вернулся к восприятию себя как человека, находящегося в более обычных обстоятельствах, и вернулся к математическим исследованиям. В этих перерывах, так сказать вынужденной рациональности, мне удалось провести несколько солидных математических исследований».

У Нэша была диагностирована параноидальная шизофрения.

Его лечили с помощью антипсихотических препаратов и инсулиновой шоковой терапии.

В конце 1960-х болезнь вернулась. «Я стал человеком с бредовым мышлением, но относительно умеренным поведением и поэтому старался избегать госпитализации и прямого внимания психиатров» (цитата из эссе, написанного для Нобелевского комитета).

Хотя в 1963 году Алисия Нэш развелась с мужем, в 1970 году она разрешила ему жить в общем доме. Нэш перестал принимать медикаменты, но старался избавляться от бредовых и иллюзорных мыслей. В конце 1980-х годов он начал восстанавливать профессиональные связи с коллегами, посылая им электронные письма. Некоторые адресаты не могли поверить, что это тот самый Джон Нэш, так как считали, что он давно умер.

Возвращение в реальность

Выйти из полноэкранного режима

Развернуть на весь экран

Предыдущая фотография

Следующая фотография

1 / 2

Лауреаты Нобелевской премии 1994 года на церемонии вручения в Стокгольме (слева направо): Бертрам Брокхауз, физика; Клиффорд Шалл, физика; Джордж Ола, химия; Альфред Гилман, медицина; Мартин Родбелл, медицина; Кэндзабуро Оэ, литература; Джон Харсаньи, экономика; Джон Нэш, экономика; Рейнхард Зельтен, экономика

Фото: Jan Collsioo / AP

Джон Нэш получает награду от его величества короля Швеции Карла XVI Густава на церемонии награждения в Стокгольмском концертном зале 10 декабря 1994 года

Фото: Нобелевский фонд / Ларс Острем

Примерно с середины 1980-х Нобелевский комитет начал обсуждать возможность присуждения премии по экономике за работы в области теории игр. Специалист по теории игр Гарольд Кун начал бороться за то, чтобы лауреатом премии стал Джон Нэш. Куна поддерживали многие коллеги, утверждавшие, что в области теории игр Нэш — «полубог». В Нобелевском комитете не все готовы были одобрить его кандидатуру. Главные претензии состояли в том, что его работа слишком стара, а сам он слишком болен.

Премия Шведского национального банка по экономическим наукам памяти Альфреда Нобеля 1994 года была присуждена Джону Нэшу, Джону Харсаньи и Рейнхарду Зельтену за анализ равновесия в теории кооперативных игр.

О том, что комитет проголосовал за присуждение премии Нэшу незначительным большинством голосов, Гарольд Кун узнал заранее. Он взял на себя подготовку необходимых документов. Для того чтобы в анкете было указано место работы Джона Нэша, в Принстонском университете специально для него была создана должность приглашенного научного сотрудника.

В 1995 году Нэш получил должность старшего научного сотрудника на кафедре математики Принстонского университета. В 1998 году вышла в свет неавторизованная биография Джона Нэша «Игры разума», написанная профессором журналистики Колумбийского университета Сильвией Назар. В 2001 году вышел на экраны снятый по этой книге кинофильм.

Выйти из полноэкранного режима

Развернуть на весь экран

В том же 2001 году Джон и Алисия Нэш вновь поженились.

В эссе для Нобелевского комитета Джон Нэш писал: «Статистически было бы невероятным, чтобы какой-либо математик или ученый в возрасте 66 лет путем дальнейших исследовательских усилий смог многое добавить к своим прежним достижениям. Однако я все же делаю такие попытки, так как моя ситуация, возможно, нетипична по причине двадцатипятилетнего интервала времени частично иллюзорного образа мышления, обеспечившего мне своего рода отпуск. Поэтому у меня есть надежда на то, что благодаря своим текущим исследованиям или новым идеям, которые появятся в будущем, я смогу достичь каких-либо полезных результатов».

К сожалению, уровня своих ранних работ ему достичь не удалось. Лекцию Нэша «Идеальные и асимптотически идеальные деньги» с одинаковым интересом слушали в аудиториях разных стран мира — хоть на ежегодном собрании Южной экономической ассоциации в Тампе, штат Флорида, хоть в Высшей школе менеджмента Санкт-Петербургского государственного университета. Но идеи, выдвинутые в этой лекции, не произвели переворота в науке.

23 мая 2015 года супруги Нэш прилетели в США из Норвегии, где король Харальд V вручил Джону Нэшу одну из самых престижных математических наград — Абелевскую премию. По дороге из аэропорта Ньюарк водитель такси, в котором ехали Нэши, не справился с управлением при обгоне. Автомобиль врезался в разделительный барьер. Пассажиры, которые, видимо, не были пристегнуты, были выброшены из машины и погибли на месте.

Алексей Алексеев