Алексей Алешин родился 24 мая 1959 года в Ашхабаде, Туркменская ССР. В 1981 году окончил юридический факультет Кемеровского государственного университета по специальности «юриспруденция», в 2002 году — факультет переподготовки и повышения квалификации Военной академии Генштаба вооруженных сил РФ.
Работал следователем прокуратуры города Ставрополя, Севастопольского района города Москвы, затем юристом в различных коммерческих, учебных, финансовых организациях. В 1996–1999 годах занимал должность заместителя гендиректора ГУП «Госзагрансобственность».
В 1999–2000 годах — заместитель главы ФГУП «Промэкспорт». В 2000–2007 годах на посту заместителя гендиректора ОАО «Рособоронэкспорт» отвечал за правовые и кадровые вопросы, поставку запчастей и инвестиции. В 2007–2014 годах работал первым заместителем гендиректора госкорпорации «Ростехнологии». В январе 2014 года назначен руководителем Ростехнадзора.
Женат, две дочери.