Звягильский Ефим Леонидович родился 20 февраля 1933 года в городе Сталино (ныне — Донецк) на Украине. Окончил горный факультет Донецкого индустриального института (1956) по специальности «горный инженер».
В 1957–1970 годах работал в шахтах треста «Куйбышевуголь» в Донецке, прошел путь от помощника начальника угольного участка до начальника шахты. С 1970 по 1979 год работал директором шахтоуправления «Куйбышевская», в 1979–1992 годах был директором Шахты им. А. Ф. Засядько. В марте 1990 года был в первый раз избран народным депутатом Украины, после этого избирался в Верховную раду еще семь раз (в 1994, 1998, 2002, 2006, 2007, 2012 и 2014 годах). В июне 1993 года был назначен первым заместителем премьер-министра Украины. 22 сентября 1993 года, после отставки Леонида Кучмы, стал исполнять обязанности премьер-министра, однако ушел с поста из-за болезни. В 1994 году стал обвиняемым по делу о нанесении государству ущерба в особо крупных размерах, однако следствие не дало результатов и в 1997 году было закрыто. В 1994–1997 годах жил в Израиле. В 2012 году как самый пожилой депутат открыл первое заседание Рады. Является совладельцем и почетным директором Шахты им. А. Ф. Засядько.
Герой Социалистического Труда. Доктор технических наук, тема диссертации — «Геомеханические основы обвалов земной поверхности над шахтами, которые могут быть ликвидированы». Женат, есть дочь.