Как измерить хаос

Новосибирские ученые разработали методологию по выбору лучшего подхода, с помощью которого специалисты в области нелинейной динамики могут оценить степень хаотичности систем. Один из таких подходов — обобщенный метод Бенеттина — авторы выбрали в виде эталона и сравнивали с ним остальные численные методы.

Построенная методология позволит подбирать наилучший способ анализа показателей Ляпунова, определяющих хаотичность для конкретной задачи. Результаты исследования, поддержанного грантом Российского научного фонда (РНФ), опубликованы в журнале Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation.

Теория хаоса применяется в очень разных областях науки: от математики и физики до медицины, истории и экономики. Она описывает «непредсказуемые» системы, будущее состояние которых предугадать очень сложно, например последствия финансового кризиса или поведение заряженных частиц в плазме. Один из ключевых параметров в этой теории, с помощью которого математики оценивают «уровень хаотичности» системы,— это показатель Ляпунова, или спектр (несколько) показателей Ляпунова. Набор таких показателей нужен, чтобы описать поведение системы в разных режимах хаоса, например частичном или полном. Если старший показатель Ляпунова положителен, то система находится в полностью хаотическом режиме. Если же он отрицателен, система стремится перейти от хаоса к порядку. Нулевой показатель означает практически отсутствие изменений.

Выйти из полноэкранного режима

Развернуть на весь экран

Ранее ученые из Института гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН (Новосибирск) с коллегами с помощью показателей Ляпунова исследовали сигналы ЭЭГ пациентов с шизофренией, эпилепсией и алкоголизмом. Выяснилось, что у здорового человека сигналы ЭЭГ носят хаотический характер, а у больных шизофренией — более гармонический. Более того, оказалось, что изменения значения показателя Ляпунова в сигнале ЭЭГ пациента с эпилепсией может прогнозировать приближающийся приступ.

В новом исследовании авторы разработали единую систему критериев для оценки надежности рассмотренных методов вычисления показателей Ляпунова. Ученые оценили точность восьми таких подходов: некоторые из них были основаны на системе уравнений, другие — на временных рядах.

Исследователи проверили правильность рассчитываемого показателя Ляпунова на системах, для которых он уже был вычислен другими учеными. Обобщенный метод Бенеттина служил эталоном, и на нем проверялась точность численных методов расчета показателей Ляпунова для ряда нелинейных динамических систем. Это подход, при котором хаотичность системы оценивают, наблюдая за двумя изначально близкими траекториями движения системы и измеряя, как быстро они разбегаются друг от друга. Метод отслеживает, как со временем меняются несколько очень малых независимых отклонений от исходной траектории, что позволяет получить не один показатель, а весь их спектр.

Если исходные уравнения системы неизвестны и доступен только временной ряд, для оценки старшего показателя Ляпунова наиболее практичными оказались методы Кантца и Розенштейна.

«В дальнейшем нам хотелось бы усовершенствовать численные методы, которые мы используем для анализа в своих работах, чтобы преодолеть их некоторые ограничения и улучшить качество получаемых результатов. Кроме того, мы планируем расширить исследование на экономические, исторические и медико-биологические данные и системы»,— рассказывает руководитель проекта, поддержанного грантом РНФ, Вадим Крысько, доктор технических наук, ведущий научный сотрудник лаборатории моделирования гетерофазных материалов Института гидродинамики им. М. А. Лаврентьева.

В исследовании принимали участие сотрудники Саратовского государственного технического университета им. Ю. А. Гагарина, Уэстлейкского университета (Китай) и Казанского научного центра РАН.

Подготовлено при поддержке Российского научного фонда