Родился в 1955 году. Сын кинорежиссера Марселя Блистена, у которого в 1940-е снималась Эдит Пиаф. Бернар Блистен учился в Ecole du Louvre и в парижском Институте искусств и археологии, после чего работал в ряде художественных журналов. С 1980-х годов регулярно участвовал во французских и международных музейных проектах в качестве куратора.
В 1990 году возглавил музейные собрания Марселя, где благодаря его усилиям появился открытый в 1994-м музей современного искусства. По инициативе Блистена в Марселе прошли первые французские ретроспективы таких художников второй половины ХХ века, как Жан-Мишель Баскья, Пол Тек и Роберт Смитсон.
С Центром Помпиду Бернар Блистен сотрудничал с 1983 года. В 1996-м он стал одним из руководителей центра — заместителем директора, отвечающим за выставочную политику. В 2002 году был назначен генеральным инспектором Дирекции художественного творчества (правительственного агентства при Министерстве культуры Франции, занимающегося поддержкой разнообразных художественных институций). А в 2009-м вернулся в Центр Помпиду: сначала в качестве руководителя департамента развития, а затем (с 2013 года) — в качестве директора Национального музея современного искусства.