Как Ляпунов скушал грушу Дарвина

Во Вселенной много двойных звезд, которые движутся по одной траектории, вращаясь вокруг их общего центра тяжести. В науке тоже часто бывает такое, когда никак не решаемая проблема притягивает к себе ярких ученых, старающихся ее решить. Подобная ситуация сложилась в начале прошлого века, когда математики Александр Ляпунов и Джордж Дарвин по-разному решили проблему формы зародыша двойных звезд.

Выйти из полноэкранного режима

Развернуть на весь экран

Сегодня, когда в звездные каталоги занесены больше ста тысяч двойных звезд, очевидно, что двойные, тройные и вообще кратные звезды весьма частое явление во Вселенной. Некоторые из них можно видеть даже невооруженным глазом. Например, вторая от конца ручки большого ковша Большой Медведицы звезда Мицар двойная, рассмотреть ее спутник — более слабую звезду Алькор — было с древних времен тестом на остроту зрения.

В XVII веке появились первые телескопы, и когда в следующем, XVIII веке они после разного рода усовершенствований стали мощным инструментом исследования Вселенной, обнаружилось, что двойных звезд довольно много, причем эти звезды не просто находятся на одной линии обзора, но и являются физическими спутниками, образующими звездные системы из двух (или более) звезд, которые обращаются по замкнутым орбитам вокруг общего центра масс. И тогда даже самая яркая звезда на земном небосводе — Сириус — оказалась двойной. У нее есть напарник — слабо светящийся «белый карлик» Сириус B, как его назвали. Соответственно, у астрономов возник вопрос о механизме возникновения двойных звезд.

Ньютоновский эллипсоид

В истории астрофизики датой рождения современной космогонической теории принято считать выход в свет в 1664 году сочинения Рене Декарта «О мире», точнее, его первой части — «Трактата о свете». По Декарту, Вселенная была заполнена вихрями частиц и Солнце с планетами образовались из большого вихря. Так можно было объяснить вращение планет и их круговое движение.

Затем, 20 лет спустя, были опубликованы «Математические начала натуральной философии» Исаака Ньютона, где закон всемирного тяготения позволял объяснить не только движение небесных тел, но и их форму. По Ньютону, небесные тела, жидкие в своей начальной стадии, под влиянием центробежных сил должны принимать форму шара, сжатого у полюсов, то есть эллипсоида вращения. Потом эту разновидность эллипсоидов вращения назовут эллипсоидом Маклорена.

К началу XIX века в космогонии господствующей стала теория Иммануила Канта и Пьера Лапласа, согласно которой небесные тела в нашей Солнечной системе образовались из облака горячего газа, который по мере остывания сжимался и распадался на отдельные сгустки. Самый крупный из них стал Солнцем, малые — планетами. Потом теория Канта—Лапласа разрослась до масштаба Вселенной.

Современная гипотеза возникновения и эволюции Вселенной принципиально мало чем отличается от лапласовской. Более того, она, как нарочно, состоит ровно из семи этапов, как библейская семидневка Творения. В нынешней астрофизической «семидневке» Большой взрыв произошел на третий день (космологической сингулярности), звездообразование — на шестой день (реионизации), образование планет — на седьмой (эры вещества и возникновения жизни). В этом последнем дне мы с вами сейчас живем, ожидая изгнания из Эдема.

Королевское открытие

Те ученые начала XIX века, кто пытался объяснить механизм образования двойных звезд, понятное дело, об этом не знали, а пребывали в парадигме ньютоновской гравитации, влияющей на форму эллипсоида вращения. Самым известным специалистом того времени по двойным и кратным звездным системам был Фридрих Гершель, автор вышедшей в 1803 году книги «Отчет об изменениях, произошедших за последние двадцать пять лет в относительном положении двойных звезд, с исследованием причины, которой они обусловлены». Он самолично открыл и описал их более восьми сотен. Почти все они, как показало время, были физическими, а не оптическими парами (это когда две звезды находятся на одной оси наблюдения, и кажется, что они рядом).

В числе истинных, физических двойных звезд у Гершеля была и Полярная звезда. Ее спутник рассмотрел в подаренный ему Гершелем телескоп король Георг III в 1782 году. Под руководством Гершеля, который установил этот телескоп в Виндзорском замке, навел его куда надо, Его Величество заглянул в окуляр, а Гершель объяснил ему, что он там видит. Потом выяснилось, что Полярная звезда даже не двойная, а тройная. Но Георг III в этом не виноват: второй ее спутник располагается настолько близко к ней, что увидеть его удалось только телескопу «Хаббл» в 2006 году.

Груша Пуанкаре

Число открытых астрономами двойных звезд росло в геометрической прогрессии, но механизм их зарождения по-прежнему оставался тайной. Ньютоновский эллипсоид Маклорена был единственной равновесной фигурой вращения, то есть не проявлял никакого желания делиться ни надвое, ни на более мелкие кусочки. В 1829 году профессор математики Кенигсбергского университета Карл Якоби (младший брат нашего обрусевшего инженера-электротехника Бориса Якоби) издал монографию «Новые основания эллиптических функций», из которой следовало, что равновесной фигурой вращения может быть и трехосный эллипсоид. Но это опять-таки был шар, сжатый не только у полюсов, но и по экватору.

Лишь полвека спустя Питер Тейт и Уильям Томсон (будущий лорд Кельвин) в книге «Трактат о натуральной философии» (1883) показали, что при определенных условиях эллипсоид Якоби, вытягиваясь, разделяется на два не связанных между собой тела. Правда, сами авторы признавались, что им ничего не известно о промежуточных, переходных формах жидкости, предшествующих делению эллипсоида.

Следующим был Анри Пуанкаре, самый, пожалуй, плодовитый и разносторонний математик второй половины XIX — начала XX века. Не прошел он и мимо фигур равновесия вращающейся жидкости, предположив, что помимо эллипсоидов могут быть равновесными и другие фигуры, в том числе грушевидные. В 1885 году он опубликовал в журнале Acta Mathematica статью «О равновесии текучей массы, подверженной вращательному движению», где дает расчеты того случая, когда большая часть эллипсоида Якоби стремится принять шарообразную форму и при этом будет скапливаться на одном конце большой оси эллипсоида, а меньшая часть, обособляясь, переместится к противоположному концу большой оси, и образуется фигура равновесия, имеющая вид груши.

Правда, это была лишь гипотеза. «Трудно с уверенностью сказать, что произойдет дальше,— пишет Пуанкаре,— но можно предположить, что масса будет все больше и больше сжиматься в средней части и в конечном итоге разделится на два изолированных тела».

Блудный сын

Гипотеза Пуанкаре заинтересовала математика Джорджа Дарвина из Кембриджа. И тому были веские причины. В 1879 году Джордж Дарвин сформулировал гипотезу происхождения Луны, согласно которой при условии эластичной поверхности нашей планеты в далеком прошлом и достаточно большой скорости ее вращения центробежная сила могла оторвать от нее кусок, который превратится в спутник Земли — Луну. Его гипотеза, хоть и казалась на первый взгляд верной, тем не менее вызвала острую критику многих его коллег: уж слишком высокой, по их мнению, должна была быть для этого угловая скорость вращения Земли.

Понятно, что гипотеза Пуанкаре о грушевидных зародышах небесных тел применительно к Луне выглядела для Джорджа Дарвина очень привлекательно. И он занялся расчетами устойчивости грушевидных тел вращения, чтобы превратить гипотезу Пуанкаре в еще одну математически обоснованную теорию происхождения Луны. Но дело было не только в астрофизике. У Джорджа Дарвина была веская субъективная причина заняться подобными расчетами: на это его фактически благословил отец — Чарлз Дарвин.

Джордж Говард Дарвин был вторым сыном и пятым ребенком в семье Чарлза Дарвина. В 18 лет он поступил в Кембридж, в 1868 году окончил его со степенью бакалавра по математике, в 1871 году стал магистром. А в 1872 году его приняли в коллегию адвокатов. По какой причине он так быстро устал от математики, история науки умалчивает. Но совсем науку он не забросил, а увидел свое призвание в новомодной науке евгенике, основоположником которой был двоюродный брат Чарлза Дарвина по мужской линии Фрэнсис Гальтон.

Итогом евгенических исследований Джорджа Дарвина стала его статья «Браки между двоюродными братьями и сестрами в Англии и их последствия», опубликованная в1875 году в Journal of the Royal Statistical Society. Говорят, что его отец тогда сильно расстроился. Не потому, что был женат на своей кузине по материнской линии Эмме Веджвуд (будучи биологом, он и сам прекрасно понимал опасность близкородственных браков), а потому, что его сын занялся подобной наукой.

Семейный клан Дарвинов—Веджвудов был, как пишут британские историки, «влиятельной семьей». Отец Эммы Веджвуд был членом парламента и владельцем компании Josiah Wedgwood and Sons, которая производила фаянсовую посуду. Не будет преувеличением сказать, что большинство англичан того времени пили five o’clock tea из веджвудских фарфоровых, точнее «под китайский фарфор», чашек, ели на завтрак овсянку и в обед говядину и пудинг с веджвудских фаянсовых тарелок. И хотя Дарвины были в этом семейном клане, как говорится, сбоку припека, это было семейство олигархов. К тому же по линии отца Эммы они были потомками Генриха I, младшего сына Вильгельма Завоевателя. Иными словами, семья была на виду, и Чарлза Дарвина удручало, что на сей раз внимание к ней, причем не очень приятного свойства, привлекает его сын.

В причинах метаний Дарвина-младшего от математики до адвокатства и евгеники разобрался бы, наверное, только Фрейд, но как бы там ни было, он резко вернулся к математике и занялся теорией приливно-отливных явлений, а затем происхождением Луны. А в 1878 году, после того как он послал отцу письмо с рассказом о своей почти готовой работе «О физических приливах вязких и полуэластичных сфероидов» (она была опубликована в 1879 году), тот в ответном письме написал сыну: «Мой дорогой Джордж, я был в полном восторге от твоего письма и с нетерпением прочитал его целиком. Ты был очень добр, что написал его. Все мы в восторге, потому что, учитывая, каким человеком является сэр Уильям Томсон (с ним Джордж консультировался в ходе написания статьи.— “Ъ-Наука”), это в высшей степени замечательно, что ты так быстро ошеломил его и что он сказал о твоем открытии... Да здравствуют недра Земли и их вязкость, а также Луна и Небесные светила и мой сын Джордж, который очень скоро станет членом Королевского общества».

Членом Лондонского Королевского общества (Английской академии наук) Дарвин-младший стал в следующем, 1879 году. Но расчеты устойчивости грушевидных жидкостных тел вращения оказались непростыми, и занимался ими Джордж Дарвин долго, до самой своей кончины в 1912 году, совмещая эту работу с профессорством в Кембридже и другими научными и научно-административными делами, которых у него становилось все больше и больше. Он был президентом Британской научной ассоциации, президентом Королевского астрономического общества, президентом Кембриджского философского общества, британским представителем в Международной геодезической ассоциации и ее вице-президентом, кавалером ордена Бани и т. д. Достаточно, наверное, сказать, что его первая обобщающая публикация «О грушевидной фигуре равновесия вращающейся массы жидкости» в «Философских трудах Королевского общества» вышла только в 1901 году. И тогда его научная траектория пересеклась с траекторией математических исследований Александра Ляпунова.

Добросовестный аспирант

Профессор Санкт-Петербургского университета Александр Михайлович Ляпунов был на 13 лет младше Джорджа Дарвина. Его отец тоже был ученым, причем астрономом, но сам Александр практически всю свою научную карьеру к космогонии имел весьма опосредствованное отношение. Он занимался математической физикой и теорией вероятностей, стал основоположником теории устойчивости динамических систем. В истории науки остались центральная предельная теорема Ляпунова, фракталы Ляпунова, функция Ляпунова, показатель Ляпунова, поверхность Ляпунова, кривая Ляпунова, время Ляпунова... Этот список можно продолжить.

По родовитости семья Ляпуновых могла бы дать фору Дарвинам—Веджвудам. Они были потомками Рюрика по мужской линии и числились в «Бархатной книге» среди наиболее знатных боярских и дворянских фамилий Российской империи. Но все это осталось в далеком прошлом, в настоящем это была рядовая профессорская семья пореформенного периода нашей истории. Отец был университетским профессором, и его сыновья собирались стать таковыми и стали ими. Даже младший брат Александра Сергей, который поступил в Московскую консерваторию по настоятельной рекомендации ее директора Рубинштейна и стал довольно известным исполнителем и композитором, в итоге был избран профессором Петербургской консерватории.

В 19 лет Александр Ляпунов окончил с золотой медалью гимназию в Нижнем Новгороде и поступил на математическое отделение Санкт-Петербургского университета, окончил его в 1882 году и был оставлен при университете для подготовки к профессорскому званию. Для этого ему нужно было для начала сдать магистерские экзамены, а потом защитить диссертацию на звание магистра (по-нашему — кандидата наук). Экзамены он сдал, а тему для диссертации ему выбрал его научный руководитель профессор Чебышев. В самых общих чертах звучала она так. Известно, что равномерно вращающаяся вокруг некоторой оси жидкая однородная масса может сохранять форму эллипсоида, пока угловая скорость вращения не превосходит определенного предела. Если же угловая скорость превысит этот предел, эллипсоидальные фигуры становятся невозможными. Чебышева интересовал вопрос, возможны ли в принципе какие-то иные стабильные фигуры равновесия и при каких именно условиях они теряют стабильность.

Эта задача у Чебышева к космогонии и эволюции звезд отношения не имела, это была чисто теоретическая математическая задача. Магистерскую диссертацию Ляпунов через два года защитил, но задачу, поставленную им Чебышевым, не решил. Да и сам Чебышев, по его словам, чувствовал себя неловко, увидев первые расчеты Ляпунова и осознав задним числом, какую грандиозную задачу он задал своему аспиранту. Тот сделал, что смог, и его диссертация носила нейтральное название «Об устойчивости эллипсоидальных форм вращающихся жидкостей».

Потом Ляпунов вернулся к этому вопросу в своей докторской диссертации «Общая проблема устойчивости движения», которую защитил в Санкт-Петербургском университете в 1892 году. Но только в мае 1905 года в своей статье «Sur le probleme de Tchebychef» («О проблеме Чебышева»), опубликованной в «Записках Императорской Академии наук по физико-математическому отделению» (они издавались одновременно на русском и французском языках), он как прилежный аспирант сообщил о решении задачи, поставленной перед ним его научным руководителем Пафнутием Львовичем Чебышевым (тогда уже покойным).

До этого Ляпунов проработал 15 лет в Харьковском университете, куда его после защиты магистерской диссертации пригласили на должность завкафедрой механики, в 1900 году стал членкором, а год спустя — академиком Санкт-Петербургской Императорской академии наук и только в 1902 году вернулся в Петербург. Здесь он хоть и был профессором прикладной математики столичного университета, но не имел преподавательской нагрузки и мог посвятить больше времени собственным исследованиям, в том числе завершить работу над «проблемой Чебышева».

Одним из ее результатов была математически строгая доказательность нестабильности грушевидных фигур вращения, что противоречило выводам Джорджа Дарвина, опубликованным в упоминавшейся нами выше статье 1901 года и в его следующей статье на тут же тему «The Stability of the Pear-shaped Figure of Equilibrium of a Rotating Mass of Liquid» («Устойчивость грушевидной фигуры равновесия вращающейся массы жидкости»), опубликованной Дарвином годом позже.

Потомки рассудят

Разумеется, Дарвин заметил статью Ляпунова «О проблеме Чебышева» в «Записках Императорской Академии наук». В мировом математическом сообществе Ляпунов был достаточно известен, чтобы не замечать его работ, и с его мнением было принято считаться. Джордж Дарвин ответил ему три года спустя, опубликовав в «Философских трудах Королевского общества» статью «Дальнейшее рассмотрение устойчивости грушевидной фигуры вращающейся массы жидкости» (1908).

Там он писал: «В томе 17, №3 (1905) “Записок Императорской Санкт-Петербургской академии наук” г. Ляпунов опубликовал краткое изложение своей работы о фигурах равновесия вращающейся жидкости под заголовком “Проблема Чебышева”. В этой статье он объясняет, как он получил строгое решение для фигуры в форме груши и ее устойчивости, и объявляет ее неустойчивой. В своей статье (1901 года.— “Ъ-Наука”) в “Философских трудах” я пришел к противоположному выводу. Стабильность или нестабильность зависит, по сути, от того, является ли знак определенной функции, которую М. Ляпунов называет А, отрицательным или положительным.

Г. Ляпунов рассказывает нам, что, ознакомившись с моим заключением, он повторил все свои вычисления и подтвердил свой прежний результат. Он объясняет разногласия между нами тем фактом, что я вычислил только часть бесконечного ряда и использовал только приближенные формы для эллиптических интегралов, входящих в несколько слагаемых. Он считает, что включение пренебрежимого остатка бесконечного ряда привело бы к противоположному выводу».

Далее Дарвин пишет: «В моих вычислениях критическая функция решительно отрицательна, в то время как г. Ляпунов столь же решительно утверждает, что она положительна. Включение пропущенного остатка в ряд, который является частью функции, несомненно, приводит к тому, что вся функция становится положительной, но после внесения изменений, описанных в настоящей статье, остается невероятным, по крайней мере для меня, что пропущенный остаток должен составлять сумму, необходимую для инвертирования перемены знака. <…> К несогласию с мнением такого выдающегося математика, как м-р Ляпунов, не следует относиться легкомысленно, и я, как уже объяснялось, приложил особые усилия для обеспечения корректности. Проведя ревизию и завершив расчеты, я пришел к убеждению, что источник наших разногласий будет найден в каком-то принципиальном вопросе, а не в пренебрежимых остатках этих рядов. Теперь я могу только выразить надежду, что кто-нибудь другой займется этим вопросом».

Если резюмировать ответ сэра Джорджа Дарвина мистеру Ляпунову, то получится всего пара фраз: «Сэр, вы считаете, что я ошибся, я считаю, что я прав и не имею желания оправдываться. Пусть нас рассудят другие». Так оно и вышло: другие до сих пор пытаются это сделать.

Правда, Ляпунов до 1915 года опубликовал серию из еще шести статей на эту же тему под общим названием «Sur les figures d’equilibre peu differentes des ellipsoides d’une masse liquide homogene douee d’un mouvement de rotation» («О фигурах равновесия, мало отличающихся от эллипсоидов однородной жидкой массы, наделенных вращательным движением»). А в 1915 году он с женой Наталией Рафаиловной (в девичестве Сеченовой) уехал в Одессу, где читал лекции в Новороссийском университете. Он, кстати, тоже был женат на своей кузине, дочери родной сестры своего отца. Осенью 1918 года Наталия Рафаиловна умерла, и Александр Ляпунов в тот же день застрелился.

Что же касается дальнейшей судьбы стабильных физических грушевидных тел, то астрофизики к ним, похоже, окончательно остыли, и те переместились в область двух других наук. В первой науке, ядерной физике, ученые сейчас собирают коллекцию изотопов химических элементов с грушевидной формой атомного ядра. Во второй, диетологии, грушевидная форма нашего с вами тела считается одной из генетически обусловленных форм ожирения. Весьма стабильной, увы, формой, как тут ни крутись.

Ася Петухова