Наука о выборах маркиза де Кондорсе

245 лет назад почетным академиком Петербургской академии наук был избран автор знаменитого парадокса

Непременный секретарь Французской академии наук Мари-Жан-Антуан-Никола Карита, маркиз де Кондорсе, пробыл российским академиком всего 16 лет, с 1776 по 1792 год, а потом депутат Законодательного собрания Франции от Парижа маркиз де Кондорсе из списка российских академиков был по-тихому исключен. В истории он остался одним из идеологов партии жирондистов и жертвой якобинского террора, а в истории науки — автором «парадокса Кондорсе», математически строгого доказательства того, что при участии более двух кандидатов в выборах победивший большинством отданных за него голосов вовсе не тот, кого хотели бы видеть избранным голосовавшие на выборах граждане.

Фото: wikipedia.org

Фото: wikipedia.org

Великий француз

Биография маркиза де Кондорсе — хрестоматийный пример того, чего мог достичь в эпоху абсолютизма талантливый юноша с хорошими манерами пусть из бедной, но родовитой семьи. Отца он лишился рано, заботу о племяннике взял на себя его дядя, высокопоставленный католический иерарх, отправив мальчика в иезуитскую школу в Реймсе, а потом в Наваррский колледж (один из факультетов) Парижского университета. Колледж имел славную историю благодаря своим выпускникам, среди которых были прелаты, государственные деятели, литераторы, военачальники, ученые, в том числе поэт Франсуа Вийон, хирург Жак д`Амбуаз, философ Жан Буридан (тот самый, кто придумал «буриданова осла»), герцог Ришелье, физик Жан-Антуан Нолле (изобрел электроскоп), математик Пьер Ферма.

Никола Кондорсе не посрамил альма-матер: за математический труд «Essai sur le calcul intgral» («Анализ интегрального исчисления») 26-летнего маркиза избрали в Академию наук. В 1777 году он получил премию Берлинской академии наук за свою «Thorie des comtes» и в том же году был избран непременным (постоянным) секретарем Французской академии за свои «loges des acadmiciens morts avant 1699» (1775) — серию научных биографий Гюйгенса, Пикара, Мариотта, Рёмера и еще ряда ученых-академиков. Но на этом, пожалуй, занятия маркиза точными науками и закончились.

В начале своей академической карьеры Кондорсе пользовался покровительством академика Д`Аламбера, который, вероятно, видел в нем себя самого в молодости: в 26 лет он написал «Трактат о динамике», где сформулировал свой фундаментальный «принцип Д`Аламбера» и расписал общие правила составления дифференциальных уравнений движения любых материальных систем. Д`Аламбер способствовал выбору своего протеже в члены академии, потом уступил ему свое место секретаря академии. Маркиз де Кондорсе не то чтобы оказался неблагодарным своему учителю, просто у него появились иные старшие товарищи и покровители. Д`Аламбер прекрасно знал парижскую жизнь и не был в обиде, напротив, радовался, что не ошибся в талантах своего ученика.

Тот же от написания биографий почивших в бозе ученых прошлого перешел к прижизненным биографиям Вольтера и министра финансов Тюрго. А исследования дифференциального исчисления и движения комет уступают место в ученых трудах академика Кондорсе «Рассуждению о хлебной торговле», «Рассуждению о барщине», «Размышлениям о негритянском рабстве» и «О допуске женщин к гражданским правам», его знаменитым примечаниям в 29-й книге «Духа законов» Монтескье. И, наконец, он пишет фундаментальный труд «Эскиз исторической картины прогресса человеческого разума».

Непременный секретарь Французской академии наук де Кондорсе довольно быстро становится заметным политиком, министр Тюрго назначает его на должности генерального инспектора Монетного двора и председателя комитета по уравнению мер и весов. На них академик Кондорсе остался и после опалы Тюрго, да и после начала революции его должность лишь поменяла название: из генерального инспектора он превратился в комиссара национального казначейства. В его служебной квартире в Hotel des Monnaies на набережной Конти напротив Лувра на другом берегу Сены в салоне его супруги Софии де Кондорсе (в девичестве де Груши, сестра будущего наполеоновского маршала Груши) в предреволюционные годы собирались сливки прогрессивно мыслящих парижских кругов, своими были здесь и иностранные гости — Томас Пейн, Чезаре Беккариа, посол США Томас Джефферсон.

Так маркиз де Кондорсе, начав с высшей математики, последовательно отметившийся как ученый в экономике, политологии, социальном эволюционизме, в итоге формально оставаясь ученым, стал действующим политиком. Он побывал издателем первой во Франции либеральной газеты «Республиканец или защитник представительного правительства», депутатом Законодательного собрания Франции от Парижа, а после его роспуска осенью 1792 года — депутатом Национального конвента, потом его секретарем, а потом и его председателем, одним из лидеров его жирондистской фракции конвента и основным разработчиком новой конституции. Ну а потом, после якобинского переворота, стал фигурантом проскрипционного списка, скрывавшимся от ареста, был задержан на улице благодаря бдительным гражданам, отправлен в тюрьму, где на следующий день был обнаружен мертвым в камере.

Празднуя 200 лет Великой французской революции, соотечественники маркиза де Кондорсе поставили надгробие с его именем в парижском Пантеоне, своего рода коллективном мавзолее выдающихся французов, с надписью на фронтоне «Великим людям — благодарное Отечество». Под могильной плитой Кондорсе пусто: прах маркиза был захоронен его тюремщиками неизвестно где. А его научные труды по интегральному исчислению, экономике, социологии сегодня интересны только историкам науки. И лишь одна научная монография постоянного секретаря Французской академии наук, члена Болонской, Петербургской, Туринской академий, академий наук Филадельфии и Падуи маркиза де Кондорсе остается актуальной поныне в своем первозданном виде, без всяких поправок на прошедшие почти два с половиной века. Называется она «Essai sur l’application de l’analyse la probabilit des dcisions rendues la pluralit des voix» («Опыт применения анализа к вероятности принятия решений большинством голосов»).

«Парадокс Кондорсе»

Выборная представительская власть существовала во Франции еще со времен Капетингов в виде разного рода советов из баронов и прелатов, а с XV века в Париже и провинциях появились собственные парламенты. Они пусть формально, но все-таки одобряли или не одобряли новые королевские указы, показывая их недостатки, могущие иметь вредные последствия, и делая королю верноподданное представление об их исправлении. Во времена абсолютизма кардинал Ришелье запретил парламентам вмешиваться в государственные дела, а затем Людовик XV распустил сначала парижский, а потом и провинциальные парламенты.

Людовик XVI в ходе своих либеральных реформ в 1774 году их восстановил, и они с учетом общей политической обстановки в стране накануне революции стали играть заметную роль. Но просвещенным либералам было ясно, что для истинного народовластия требуются независимые от королевской власти представительские органы власти, избираемые более демократическим путем, нежели под контролем этой власти. Казалось, чего проще: необходимо лишь ввести всеобщее избирательное право (ограниченное разумными рамками демократических норм и представлений того времени о демократии) и независимое голосование. Тот, за кого проголосует большинство избирателей, и станет их, избирателей, представителем в законодательном органе власти.

И вот тут математик академик Кондорсе публикует монографию, где ему даже не потребовалась высшая математика, а достаточно было простой арифметики, чтобы показать: не все так просто. Точнее, все как раз наоборот: набравший большинство голосов избирателей, скорее всего, будет не тем человеком, кого на самом деле хотели бы видеть своим депутатом избиратели. В оригинале прочитать этот научный труд маркиза может любой, кто знает французский язык, он доступен в интернете. В нем 195 страниц, так что читать придется долго, зато сокращенный до разумных пределов перевод сути расчетов академика Кондорсе (они получили название «парадокс Кондорсе») присутствует сейчас во всех энциклопедиях и справочниках. Если же совсем коротко, то суть парадокса такая.

Кондорсе взял пример с 60 избирателями и тремя кандидатами (А, В и С), за которых они голосуют. Избирателям было предложено ранжировать кандидатов по предпочтительности. 23 избирателя на первое место поставили кандидата А, на второе — кандидата С и на последнее, третье, место — кандидата В. То есть картинка их предпочтений была такая: А > С > В. У 19 избирателей картина была В > С > А. Еще 16 избирателей ранжировали кандидатов так: С > В > А. И оставшиеся два избирателя предпочли бы С > А > В.

Итого: сравнивая А и В, мы имеем 23 + 2 = 25 человек за то, что А > В, и 19 + 16 = 35 человек за то, что В > А. Продолжая в том же духе дальше, имеем 23 человека за А > С и 37 человек за то, что С > А, то есть большинство предпочитает кандидата С кандидату А. Аналогично (19 человек за В > С и 41 человек за С > В) кандидат С более предпочтителен, нежели В.

Таким образом, воля большинства избирателей выражается в виде трех суждений: С > В, В > А и С > А. Их можно объединить в одно отношение предпочтения: С > В > А. И если надо выбрать одного из трех кандидатов, то победу следует отдать кандидату С. Но когда мы, как при мажоритарных выборах, подсчитаем голоса, отданные за каждого из кандидатов, по их абсолютному или относительному количеству, то итог выборов будет совсем другой.

По системе абсолютного большинства за кандидата А отдано 23 голоса, за В — 19 голосов, за С — 18. Побеждает кандидат А. При голосовании в два тура по системе относительного большинства во второй тур выйдут А и В, где А получит 25 голосов и проиграет В с 35 голосами.

Это и есть «парадокс Кондорсе»: избиратели вроде бы определились со своими предпочтениями кандидатов — кто для них самый приемлемый, кто похуже, а кто совсем плохой,— проголосовали, а после подсчета их голосов избранным оказался самый ненавистный кандидат для большинства избирателей.

Неприятный парадокс

Понятно, что в первом (по предпочтению) и втором (по отданным голосам) случаях голосование идет по разным правилам. Неважно, какие из них объективнее, главное, что итогом абсолютно честных демократических выборов можно манипулировать, изменяя их правила. Кстати, много позже экономисты сформулировали теорию ординализма, согласно которой предпочтения индивидуума относительно предлагаемых к выбору альтернатив не могут измеряться количественно, а только сравниваться, то есть одна альтернатива хуже или лучше другой.

Разработали эту теорию весьма неглупые люди, начиная от Вильфредо Парето и заканчивая лауреатом премии по экономике памяти Альфреда Нобеля сэром Джоном Хиксом. Краеугольный камень этой теории: потребитель может выбирать блага или товары только методом их сравнения (если товар, конечно, не единственный в своем роде). Иными словами, товар или иные блага человек выбирает путем их сравнения, а такое благо, как начальство себе на шею, человек выбирает иным способом — кидая в общую корзину свой голос только за одну разновидность сего блага.

Двести с лишним лет «парадокс Кондорсе» пытались опровергнуть или найти в нем какие-то слабости, но лишь убедились в том, что в силу математической симметрии парадокс не разрешим никакими ухищрениями. Более того, в обобщенном виде «парадокс Кондорсе» благодаря стараниям еще одного лауреата Нобелевской премии по экономике, Кеннета Эрроу, в 1951 году превратился в парадокс, или теорему Эрроу, о невозможности демократии как коллективного выбора.

Это была уже совсем грустная теорема: «В избирательных системах без диктатора, в которых реализован принцип единогласия, не может выполняться принцип независимости от посторонних альтернатив». А если простыми словами, то для технологий манипулирования уязвимы все избирательные системы, за исключением тех, в которых окончательное решение принимает один человек, то есть диктатор. Иначе теорему Эрроу еще называют «теоремой о неизбежности диктатора». Если же подвести итог, то «парадокс Кондорсе» не работает, когда на выборах всего два кандидата, а еще лучше — один. Он включается только тогда, когда кандидатов больше двух. Это и есть математический предел истинной демократии. Если альтернатив три и больше, то, продолжая игнорировать «парадокс Кондорсе», демос в итоге придет к единственно возможному результату — диктатуре. Это с неизбежностью, увы, следует из теоремы Эрроу.

На практике же с недавних пор предпринимаются попытки разработать алгоритмы выборов, с помощью которых можно обойти парадокс революционного маркиза. В 1997 году появился метод голосования Маркуса Шульце, который полностью построен на принципе ординализма Кондорсе и который уже, говорят, применяется при выборах в частных компаниях, неправительственных учреждениях и даже на политических выборах в некоторых странах, в том числе в Папуа — Новой Гвинее. Но в основном метод Шульце пока обсуждают в научной прессе, причем не столько социологи и политологи, сколько IT-специалисты. Наиболее полная версия этого метода в авторском изложении доступна в интернете (Markus Schulze. The Schulze Method of Voting, 2020) — там около 500 страниц в основном графов, таблиц и формул.

Предшественники и последователи маркиза де Кондорсе

Как только историки науки вплотную занялись «парадоксом Кондорсе», у маркиза тут же нашлись предшественники, которые раньше него открыли тот же самый «парадокс». Случилось это в Средние века, а до этого демос, по мнению историков науки, не догадывался, что голосование большинством голосов не совсем объективное, и дружно опускал большой палец вниз на трибунах Колизея, голосуя большинством пальцев за смерть гладиатора-неудачника.

В XIII веке каталонским философом Раймундом Луллием, который искал логику разумных связей между наукой и верой, а открыл принципы комбинаторики, была разработана процедура голосования, основанная на попарных сравнениях кандидатов. В XV веке немецкий епископ (впоследствии кардинал) Николай Кузанский, увлекавшийся точными науками, в том числе математикой, предложил примерно то же самое. Их системы голосования особого впечатления на современников не произвели, потому что время тогда было, прямо скажем, не очень располагающее для волеизлияния народа путем голосования. А когда это время пришло, то на 15 лет раньше маркиза де Кондорсе похожую систему альтернативного голосования предложил его соотечественник — боевой морской офицер Жан-Шарль де Борда (впоследствии генеральный инспектор французского военно-морского судостроения).

Его система получила название «метод Борда». При выборах из n кандидатов каждый голосующий ранжирует всех кандидатов по убыванию предпочтения: за первое место по предпочтению кандидату присуждается n баллов, за второе — n-1 баллов и т. д. (за последнее место — 1 балл). Потом все набранные баллы кандидатами суммируются, и победителем выборов считается кандидат, набравший наивысший суммарный балл.

Говорят, что в 2018 году метод Борда применялся при выборах в парламент Науру (эта страна соседствует с Папуа — Новой Гвинеей в западной части Тихого океана) и при выборах национальных представителей в парламент Словении. В Словении вообще-то прямое избирательное право, но по конституции в парламенте обязательно должны быть представители итальянского и венгерского национальных меньшинств (по одному депутату). Вот кандидатов на их мандаты и проранжировали по методу Борда.

В своем последнем научном труде «Esquisse d’un tableau historique des progres de l’esprit humain» («Эскиз исторической картины прогресса человеческого разума»), который маркиз де Кондорсе считал главным в своей жизни, дописывал уже будучи в бегах и который был опубликован через год после его смерти в тюремной камере, он написал замечательные слова: «Придет время, когда солнце будет освещать только мир свободных людей, не признающих над собой никакого господина, кроме своего разума».

Это чудесное время так и не пришло, в том числе и потому, что другой его труд о главном инструменте демократии — выборах — остался невостребованным. Даже сегодня никто из искренне убежденных в примате демократии людей всерьез его не воспринимает. О нем постарались забыть почти сразу. Второе и последнее его издание 1805 года было опубликовано на родине автора в 1805 году под названием «Elements du calcul des probabilites, et son application aux jeux de hasard, a la loterie et aux jugements des homes» («Элементы расчета вероятностей и его применение к азартным играм, лотерее и людским суждениям»).

Так оно вернее: нечего демосу ломать голову над абстрактным понятием демократии, а если кто не может не думать, то пусть лучше направит свои умственные усилия на достижение успеха в казино или лотерее. А еще лучше напрячь своих айтишников — пусть те в полном соответствии с алгоритмом маркиза де Кондорсе постараются оценить, какие открывающиеся альтернативы будут выгоднее для успеха компании и повышения ее прибылей. Наградой будут реальные деньги сейчас, а абстрактное светлое будущее — потом.

Ася Петухова

Картина дня

Загрузка новости...
Загрузка новости...
Загрузка новости...
Загрузка новости...
Загрузка новости...
Загрузка новости...
Загрузка новости...
Загрузка новости...
Загрузка новости...
Загрузка новости...
Загрузка новости...