Рекламаwww.kommersant.ru/ad

Радио «ЪFM»

Слушать прямой эфир

Выпуск газеты №201

В архив

RuStore
Скачайте в
RuStore
AppGallery
Скачайте в
AppGallery
Android
Загрузите на
Android
Радио «ЪFM»«ЪFM»
Выпуск газеты №201«Ъ» Газета
Коммерсантъ. Наука

Коронавирусная инфекция: моделирование и прогноз

Варианты карантина и их эффект в России
Понимание принципа и скорости распространения вируса — основа верных решений в управлении обществом и безопасном поведении, считает Сергей Ильин, кандидат химических наук, ведущий научный сотрудник Института нефтехимического синтеза им. А. В. Топчиева РАН.
Все прогнозы распространения коронавирусной инфекции строятся на мнениях, догадках, предположениях, надеждах: нужно провести «сглаживание кривой», распространение «скоро выйдет на плато», «пик скоро будет пройден», «нужно подождать». Ситуация стремительно развивается и требует принятия ответственных решений как органами власти, так и обычными гражданами. От их быстроты и верности зависят жизнь, здоровье и финансовое благополучие. К счастью, достаточно точный прогноз легко осуществим с использованием простого математического аппарата.
Модель распространения вируса базируется на наборе параметров, значения которых уникальны для каждой страны из-за плотности и особенностей поведения населения, даты проникновения вируса, действий правительства. Набор включает следующие параметры:
t0 — дата начала эпидемии, и это не дата выявления первого зараженного, а дата появления первого невыявленного зараженного или выявленного слишком поздно;
t1, t2, t3 — это даты изменения поведения населения, обусловленного осознанием реальности происходящего, введением карантина и его ужесточением;
tD — среднее время от заражения до изоляции больного, равно инкубационному периоду, который принимается равным 6 дням (по разным источникам, от 5,1 до 6,4 дня); теоретически этот параметр можно снизить тотальным тестированием всего населения, но это реализуемо только для малых сообществ;
K0, K1, K2, K3 — это трансмиссивность (передаваемость) вируса, равная среднему числу людей, которое заражает один человек до его изоляции, и зависящая от плотности и поведения населения на разных этапах развития эпидемии; при K меньше 1,0 эпидемия затухает, и наоборот;
k0, k1, k2, k3 — приведенная трансмиссивность; выражает, сколько один больной в среднем заражает за день — k = K/tD; для подавления распространения вируса k должно быть меньше 0,167.
Оценка распространения вируса основывается на расчете следующих показателей:
ND(ti) — число выявленных зараженных на дату ti, оно равно общему числу зараженных шестью днями ранее:
ND(ti) = NT(ti – tD);
NT(ti) — общее число заразившихся на дату ti, равно сумме общего числа зараженных днем ранее и числа новых зараженных, которое, в свою очередь, равно произведению приведенной трансмиссивности на число активных зараженных днем ранее:
NT(ti) = NT(ti – 1) + k0 х NA(ti – 1);
NA(ti) — число активных (невыявленных) зараженных на дату ti, равно разнице между общим числом зараженных днем ранее и числом выявленных зараженных также днем ранее:
NA(ti) = NT(ti – 1) – ND(ti – 1).
На момент начала эпидемии (дату t0): NA(t0) = 1, NT(t0) = 1, а ND(t0) = 0.
Таким образом, для расчета динамики распространения вируса нужно знать величины только двух параметров — t0 и k0. В случае изменения поведения населения с даты t1 параметр k0 меняет с этой даты свое значение, становясь k1. Если далее поведение снова меняется, то появляется пара t2 и k2 и т. д.
Корректно оценить людские потери существенно сложнее. Появляются еще два параметра:
L — летальность, равная отношению числа погибших к сумме количеств погибших и выздоровевших;
tL — среднее время от заражения до смертельного исхода (время жизни).
Оба параметра зависят от эффективности лечения и могут изменяться по мере как набора опыта врачами, так и переполнения лечебных учреждений. Число погибших на дату ti равно общему числу зараженных tL-днями, ранее помноженному на летальность:
NL(ti) = NT(ti – tL) х L.
Из-за наличия двух параметров (tL и L), одинаково влияющих на рассчитываемую величину, точность оценки их обоих ниже, чем оценка параметра k.
Теперь на основе исторических данных о развитии болезни в КНР, Италии и США тестируем модель и оцениваем значения параметров k, tL и L (любой может воспроизвести модель, например, в программе Microsoft Excel).
В случае Китая (см. график 1) трансмиссивность болезни на первых этапах была очень велика: один человек заражал в среднем четыре-пять человек, что сопоставимо с заразностью ветрянки. Причина могла заключаться как в неизолировании первых зараженных, так и в высокой плотности населения. Введение карантина в Ухане привело к сокращению трансмиссивности: один человек уже заражал двух. Это не остановило распространение вируса, и китайские власти усилили карантин, изолировав другие города и введя в них комендантский час, разрешив выходить максимум раз в два-три дня одному члену семьи за продуктами и лекарствами, при этом фиксируя все перемещения и контакты. В результате трансмиссивность упала до 0,34 — трое зараженных за время своей болезни заражали одного. Так болезнь была побеждена. В процессе противостояния эпидемии опыт медиков возрастал, что привело к постепенному снижению летальность с 15% до 4% и увеличению средней продолжительности борьбы за жизни пациентов с 5 до 15 дней (tL – tD).
[ "\u0413\u0440\u0430\u0444\u0438\u043A 1. \u0412\u0440\u0435\u043C\u0435\u043D\u043D\u044B\u0435 \u0437\u0430\u0432\u0438\u0441\u0438\u043C\u043E\u0441\u0442\u0438 \u043E\u0431\u0449\u0435\u0433\u043E \u0447\u0438\u0441\u043B\u0430 \u0432\u044B\u044F\u0432\u043B\u0435\u043D\u043D\u044B\u0445 \u0441\u043B\u0443\u0447\u0430\u0435\u0432 \u0437\u0430\u0440\u0430\u0436\u0435\u043D\u0438\u044F \u043A\u043E\u0440\u043E\u043D\u0430\u0432\u0438\u0440\u0443\u0441\u043D\u043E\u0439 \u0438\u043D\u0444\u0435\u043A\u0446\u0438\u0435\u0439 (\u0441\u0432\u0435\u0440\u0445\u0443) \u0438 \u043E\u0431\u0449\u0435\u0433\u043E \u0447\u0438\u0441\u043B\u0430 \u043F\u043E\u0433\u0438\u0431\u0448\u0438\u0445 \u043E\u0442 \u043D\u0435\u0435 \u0432 \u041A\u041D\u0420 (\u0441\u043D\u0438\u0437\u0443). \u041F\u0430\u0440\u0430\u043C\u0435\u0442\u0440\u044B \u043C\u043E\u0434\u0435\u043B\u0438: t0 = 31 \u0434\u0435\u043A\u0430\u0431\u0440\u044F 2019 \u0433\u043E\u0434\u0430; k0 = 0,76 (K = 4,56) \u0434\u043E 22 \u044F\u043D\u0432\u0430\u0440\u044F 2020 \u0433\u043E\u0434\u0430; k1 = 0,34 (K = 2,04) \u0441 23 \u044F\u043D\u0432\u0430\u0440\u044F (t1) \u043F\u043E 28 \u044F\u043D\u0432\u0430\u0440\u044F; k2 = 0,2 (K = 1,2) \u0441 29 \u044F\u043D\u0432\u0430\u0440\u044F (t2) \u043F\u043E 9 \u0444\u0435\u0432\u0440\u0430\u043B\u044F; k3 = 0,06 (K = 0,36) \u0441 10 \u0444\u0435\u0432\u0440\u0430\u043B\u044F (t3); L \u2014 \u043E\u0442 15% \u0434\u043E 4%; tL \u2014 \u043E\u0442 11 \u0434\u043E 21 \u0434\u043D\u044F" ]

График 1. Временные зависимости общего числа выявленных случаев заражения коронавирусной инфекцией (сверху) и общего числа погибших от нее в КНР (снизу). Параметры модели: t0 = 31 декабря 2019 года; k0 = 0,76 (K = 4,56) до 22 января 2020 года; k1 = 0,34 (K = 2,04) с 23 января (t1) по 28 января; k2 = 0,2 (K = 1,2) с 29 января (t2) по 9 февраля; k3 = 0,06 (K = 0,36) с 10 февраля (t3); L — от 15% до 4%; tL — от 11 до 21 дня

В Италии первый зараженный, активно распространяющий инфекцию, появился 1 февраля, за две недели до официальной регистрации случая проникновения болезни в государство (см. график 2). На первых порах трансмиссивность болезни была ниже, чем это было в Китае в аналогичный период развития эпидемии, но все равно высокой: от одного носителя заражались три-четыре человека. Когда число выявленных заболевших превысило 300 человек, трансмиссивность болезни снизилась, вероятно, из-за осознания гражданами серьезности ситуации. Последовательное введение карантина и его усиление привели к снижению трансмиссивности до текущего уровня — 0,9. Эта величина меньше 1,0, и это означает, что эпидемия идет на спад, но крайне медленно: согласно модели, последний активный зараженный при таких условиях будет изолирован в июле следующего года. С практической точки зрения это может означать, что болезнь может стать сезонной. Неготовность итальянских медицинских учреждений к массовому поступлению пациентов в тяжелом состоянии привела к тому, что высокий уровень летальности, имевший место на начальном этапе развития эпидемии в Китае, сохраняется в Италии до текущего момента.
[ "\u0413\u0440\u0430\u0444\u0438\u043A 2. \u0412\u0440\u0435\u043C\u0435\u043D\u043D\u044B\u0435 \u0437\u0430\u0432\u0438\u0441\u0438\u043C\u043E\u0441\u0442\u0438 \u043E\u0431\u0449\u0435\u0433\u043E \u0447\u0438\u0441\u043B\u0430 \u0432\u044B\u044F\u0432\u043B\u0435\u043D\u043D\u044B\u0445 \u0441\u043B\u0443\u0447\u0430\u0435\u0432 \u0437\u0430\u0440\u0430\u0436\u0435\u043D\u0438\u044F \u043A\u043E\u0440\u043E\u043D\u0430\u0432\u0438\u0440\u0443\u0441\u043D\u043E\u0439 \u0438\u043D\u0444\u0435\u043A\u0446\u0438\u0435\u0439 (\u0441\u0432\u0435\u0440\u0445\u0443) \u0438 \u043E\u0431\u0449\u0435\u0433\u043E \u0447\u0438\u0441\u043B\u0430 \u043F\u043E\u0433\u0438\u0431\u0448\u0438\u0445 \u043E\u0442 \u043D\u0435\u0435 \u0432 \u0418\u0442\u0430\u043B\u0438\u0438 (\u0441\u043D\u0438\u0437\u0443). \u041F\u0430\u0440\u0430\u043C\u0435\u0442\u0440\u044B \u043C\u043E\u0434\u0435\u043B\u0438: t0 = 1 \u0444\u0435\u0432\u0440\u0430\u043B\u044F; k0 = 0,57 (K = 3,42) \u0434\u043E 25 \u0444\u0435\u0432\u0440\u0430\u043B\u044F; k1 = 0,35 (K = 2,1) \u0441 26 \u0444\u0435\u0432\u0440\u0430\u043B\u044F (t1) \u043F\u043E 7 \u043C\u0430\u0440\u0442\u0430; k2 = 0,26 (K = 1,56) \u0441 8 (t2) \u043F\u043E 17 \u043C\u0430\u0440\u0442\u0430; k3 = 0,15 (K = 0,9) \u0441 18 \u043C\u0430\u0440\u0442\u0430 (t3); L = 13\u201314%; tL = 10\u201311 \u0434\u043D\u0435\u0439" ]

График 2. Временные зависимости общего числа выявленных случаев заражения коронавирусной инфекцией (сверху) и общего числа погибших от нее в Италии (снизу). Параметры модели: t0 = 1 февраля; k0 = 0,57 (K = 3,42) до 25 февраля; k1 = 0,35 (K = 2,1) с 26 февраля (t1) по 7 марта; k2 = 0,26 (K = 1,56) с 8 (t2) по 17 марта; k3 = 0,15 (K = 0,9) с 18 марта (t3); L = 13–14%; tL = 10–11 дней

В США коронавирусная инфекция начала распространяться на десять дней позже и примерно с той же скоростью, как и в Италии (см. график 3). Когда число выявленных заболевших выросло до 30 тыс., продвижение эпидемии замедлилось, вероятно, из-за сознательности части граждан. На текущий момент США не намерены вводить карантин, что означает продолжение распространения болезни с той же интенсивностью, при которой к концу июля заразится большая часть населения страны. Хорошая медицина пока поддерживает летальность от заболевания на низком уровне, что, впрочем, может измениться в будущем из-за лавинообразного роста числа больных в критическом состоянии.
[ "\u0413\u0440\u0430\u0444\u0438\u043A 3. \u0412\u0440\u0435\u043C\u0435\u043D\u043D\u044B\u0435 \u0437\u0430\u0432\u0438\u0441\u0438\u043C\u043E\u0441\u0442\u0438 \u043E\u0431\u0449\u0435\u0433\u043E \u0447\u0438\u0441\u043B\u0430 \u0432\u044B\u044F\u0432\u043B\u0435\u043D\u043D\u044B\u0445 \u0441\u043B\u0443\u0447\u0430\u0435\u0432 \u0437\u0430\u0440\u0430\u0436\u0435\u043D\u0438\u044F \u043A\u043E\u0440\u043E\u043D\u0430\u0432\u0438\u0440\u0443\u0441\u043D\u043E\u0439 \u0438\u043D\u0444\u0435\u043A\u0446\u0438\u0435\u0439 (\u0441\u0432\u0435\u0440\u0445\u0443) \u0438 \u043E\u0431\u0449\u0435\u0433\u043E \u0447\u0438\u0441\u043B\u0430 \u043F\u043E\u0433\u0438\u0431\u0448\u0438\u0445 \u043E\u0442 \u043D\u0435\u0435 \u0432 \u0421\u0428\u0410 (\u0441\u043D\u0438\u0437\u0443). \u041F\u0430\u0440\u0430\u043C\u0435\u0442\u0440\u044B \u043C\u043E\u0434\u0435\u043B\u0438: t0 = 11 \u0444\u0435\u0432\u0440\u0430\u043B\u044F; k0 = 0,54 (K = 3,24) \u0434\u043E 21 \u043C\u0430\u0440\u0442\u0430; k1 = 0,21 (K = 1,26) \u0441 22 \u043C\u0430\u0440\u0442\u0430 (t1); L = 5%; tL = 10\u201311 \u0434\u043D\u0435\u0439" ]

График 3. Временные зависимости общего числа выявленных случаев заражения коронавирусной инфекцией (сверху) и общего числа погибших от нее в США (снизу). Параметры модели: t0 = 11 февраля; k0 = 0,54 (K = 3,24) до 21 марта; k1 = 0,21 (K = 1,26) с 22 марта (t1); L = 5%; tL = 10–11 дней

Таким образом, исследовав эпидемическую картину в трех странах с помощью предложенной модели, можно констатировать как ее работоспособность, так и общность развития эпидемии во всех рассмотренных странах, по крайней мере на начальных этапах. Рассмотрим текущую ситуацию в России.
Согласно анализу данных о распространении инфекции, она началась на территории России 20 февраля (см. график 4). На раннем этапе трансмиссивность болезни у нас была намного ниже (K = 2,46), чем в других странах, возможно, из-за меньшей мобильности и плотности населения. Введение режима самоизоляции снизило трансмиссивность примерно на треть — до 1,71. Не вдаваясь в подробности о возможных конкретных причинах столь незначительного снижения темпа распространения вируса, можно лишь резюмировать, что при сохранении текущей ситуации число зараженных будет ускоренно расти (см. таблицу) и большая часть населения к середине июня будет инфицирована. На настоящий момент летальность от болезни находится на низком уровне (4%), но это может измениться. Даже в случае неизменности этого параметра и принимая, что в условиях неограниченного распространения заболевания заражается 20–30% населения (20% заразилось на лайнере Diamond Princess, 28–30% — во время эпидемии испанки), число погибших от коронавируса может достигнуть 1 млн человек. При наихудшем развитии ситуации, по итальянскому сценарию, с заражением 30% населения число жертв может превысить 5 млн человек.
[ "\u0413\u0440\u0430\u0444\u0438\u043A 4. \u0412\u0440\u0435\u043C\u0435\u043D\u043D\u044B\u0435 \u0437\u0430\u0432\u0438\u0441\u0438\u043C\u043E\u0441\u0442\u0438 \u043E\u0431\u0449\u0435\u0433\u043E \u0447\u0438\u0441\u043B\u0430 \u0432\u044B\u044F\u0432\u043B\u0435\u043D\u043D\u044B\u0445 \u0441\u043B\u0443\u0447\u0430\u0435\u0432 \u0437\u0430\u0440\u0430\u0436\u0435\u043D\u0438\u044F \u043A\u043E\u0440\u043E\u043D\u0430\u0432\u0438\u0440\u0443\u0441\u043D\u043E\u0439 \u0438\u043D\u0444\u0435\u043A\u0446\u0438\u0435\u0439 (\u0441\u0432\u0435\u0440\u0445\u0443) \u0438 \u043E\u0431\u0449\u0435\u0433\u043E \u0447\u0438\u0441\u043B\u0430 \u043F\u043E\u0433\u0438\u0431\u0448\u0438\u0445 \u043E\u0442 \u043D\u0435\u0435 \u0432 \u0420\u043E\u0441\u0441\u0438\u0438 (\u0441\u043D\u0438\u0437\u0443). \u0412\u043E\u0437\u043B\u0435 \u043A\u0440\u0438\u0432\u044B\u0445 \u043F\u043E\u043A\u0430\u0437\u0430\u043D\u044B \u043E\u0446\u0435\u043D\u043A\u0438 \u0434\u0430\u0442 \u043E\u043A\u043E\u043D\u0447\u0430\u043D\u0438\u044F \u044D\u043F\u0438\u0434\u0435\u043C\u0438\u0438 \u0438 \u0447\u0438\u0441\u043B\u0430 \u0436\u0435\u0440\u0442\u0432. \u041F\u0430\u0440\u0430\u043C\u0435\u0442\u0440\u044B \u043C\u043E\u0434\u0435\u043B\u0438 \u0434\u043B\u044F \u0440\u0435\u0436\u0438\u043C\u0430 \u0441\u0430\u043C\u043E\u0438\u0437\u043E\u043B\u044F\u0446\u0438\u0438: t0 = 20 \u0444\u0435\u0432\u0440\u0430\u043B\u044F; k0 = 0,41 (K = 2,46) \u0434\u043E 27 \u043C\u0430\u0440\u0442\u0430; k1 = 0,285 (K = 1,71) \u0441 28 \u043C\u0430\u0440\u0442\u0430 (t1); L = 4%; tL = 16 \u0434\u043D\u0435\u0439. \u0414\u043B\u044F \u0434\u0440\u0443\u0433\u0438\u0445 \u0440\u0435\u0436\u0438\u043C\u043E\u0432: t2 = 13 \u0430\u043F\u0440\u0435\u043B\u044F, \u0430 k2 = 0,41 (\u043E\u0442\u043C\u0435\u043D\u0430 \u0440\u0435\u0436\u0438\u043C\u0430 \u0441\u0430\u043C\u043E\u0438\u0437\u043E\u043B\u044F\u0446\u0438\u0438), 0,183 (\u0443\u0436\u0435\u0441\u0442\u043E\u0447\u0435\u043D\u0438\u0435 \u0432 \u043F\u043E\u043B\u0442\u043E\u0440\u0430 \u0440\u0430\u0437\u0430), 0,137 (\u0432 \u0434\u0432\u0430 \u0440\u0430\u0437\u0430) \u0438\u043B\u0438 0,06 (\u0432 \u043F\u044F\u0442\u044C \u0440\u0430\u0437)" ]

График 4. Временные зависимости общего числа выявленных случаев заражения коронавирусной инфекцией (сверху) и общего числа погибших от нее в России (снизу). Возле кривых показаны оценки дат окончания эпидемии и числа жертв. Параметры модели для режима самоизоляции: t0 = 20 февраля; k0 = 0,41 (K = 2,46) до 27 марта; k1 = 0,285 (K = 1,71) с 28 марта (t1); L = 4%; tL = 16 дней. Для других режимов: t2 = 13 апреля, а k2 = 0,41 (отмена режима самоизоляции), 0,183 (ужесточение в полтора раза), 0,137 (в два раза) или 0,06 (в пять раз)

«Сопоставление данных по распространению коронавирусной инфекции в России с рассчитанными по модели (показаны только данные за последние дни и прогноз на ближайшие»
ДатаРеальные данныеМодельные данные*
Число выявленных случаевКоличество погибшихЧисло невыявленных зараженныхОбщее число зараженныхЧисло выявленных зараженныхКоличество погибших
19.0319904237231991
20.0325305248962461
21.03306065011113062
22.03367080613783792
23.03495099917084702
24.036580123821185833
25.038402153526257234
26.0310363190232548965
27.03126442358403411116
28.031534829234706**13786
29.03183693328553917086
30.0323361738316488211810
31.0327762443707580262512
01.0435483049558825325415
02.04414934557110 237403419
03.04473143620311 825470623
04.04538945711913 539559329
05.04634347805415 622648836
06.04749758913417 917758044
07.0486726310 33720 520882555
08.0410 1317611 69523 46610 23768
09.04119179413 22926 79911 82585
10.041358410514 97430 56913 593105
11.041577013016 97734 83715 622130
12.041832814819 21639 67617 917161
13.0421 75945 15220 520205
14.0424 63251 35323 466205
15.0427 88758 37326 799281
16.0431 57466 32130 569328
17.0435 75275 32034 837381
18.0440 48285 50939 676441
19.0445 83397 04645 152508
20.0451 894110 10951 353584
21.0458 756124 89958 373671
*Для получения данных по Москве достаточно разделить число на 1,5.
**Начало действия режима самоизоляции.