Александр Крылов родился 17 марта 1971 года в Ленинграде. В 1992 году окончил ЛМУ (г. Ленинград), в 2004 году — юридический факультет СПбГУ, в 2007 году — Московскую международную высшую школу бизнеса МИРБИС МВА по специальности "стратегический менеджмент и предпринимательство". В 2014 году получил MBA по нефтяному бизнесу Стокгольмской школе экономики.
С 1994 по 2005 год работал на руководящих должностях в сфере недвижимости (генеральный директор, президент) в российско-канадском СП "Петробилд", ЗАО "Городской центр недвижимости", ЗАО "Алпол".
С 2005 года занимал должность заместителя руководителя дирекции по реализации в ООО СИБУР. В 2007 году перешел на должность начальника департамента нефтепродуктообеспечения "Газпром нефти". С декабря 2009 года — директор по региональным продажам "Газпром нефти".
Дирекция региональных продаж ПАО "Газпром нефть" управляет сбытом моторного топлива в России, СНГ и странах Восточной Европы. Сеть АЗС "Газпромнефть" объединяет более 1,7 тыс. современных автозаправочных станций различных форматов в России, странах СНГ и Восточной Европы.