В этот день в своем личном «Дневнике открытий» Гаусс записал: «Heureka! num= треугольник + треугольник + треугольник» (в оригинале записи вместо слова «треугольник», разумеется, стоял маленький рисунок треугольника). Это означало: «Эврика! Любое натуральное число может быть представлено как сумма не более чем трех треугольных чисел». Гауссу был 19 лет, он учился в Геттингенском университете и писал капитальный труд по теории чисел, который через пять лет был опубликован под названием «Арифметические исследования».
Фото: Siegfried Detlev Bendixen / Astronomische Nachrichten
Сами треугольные числа заняли в этой монографии Гаусса довольно скромное место. Ведь что такое треугольные числа? Это простейшая разновидность фигурных чисел из трудов древнегреческих математиков пифагорейской школы, которые помимо решения чисто практических задач любили пофилософствовать насчет «магии чисел». Сколько нужно одинаковых камешков, чтобы сложить треугольник? Три камешка. А чтобы сложить квадрат? Четыре. А чтобы увеличить в размерах треугольник из трех камешков? Шесть. И так далее. Набрав побольше монет одного достоинства, например, в один рубль, любой может выложить из них самые разные правильные многоугольники.
В XVII веке Ферма сформулировал свою великую теорему. Но только сформулировал, а не доказал, что всякое натуральное число — либо треугольное, либо сумма двух или трех треугольных чисел; всякое натуральное число — либо квадратное, либо сумма двух, трех или четырех квадратных; всякое натуральное число — либо пятиугольное, либо сумма от двух до пяти пятиугольных чисел; и так далее. Вот ее Гаусс и доказал относительно треугольных чисел (полностью она была доказана только в 1994 году англичанином Эндрю Уайлсом, ставшим за это сэром Эндрю).
Наверное, в 19 лет Гаусс гордился, что смог доказать то, что не смогли доказать Ферма, Паскаль, Эйлер. Но наверняка понимал, что этой теоремой лишь залатал небольшую прореху в математике прошлого, и надо идти дальше. В своих «Арифметических исследованиях» Гаусс собрал воедино результаты Ферма, Эйлера, Лагранжа и других своих предшественников и добавил к ним собственные. Монография принесла Гауссу мировую известность и легла в основу современной теории чисел — одного из основных разделов математики.
Сегодня с его юношеской теоремой о треугольных числах знакомы, наверное, только ученики математических спецшкол. Но именно с нее начался путь Гаусса к его неофициальному, но общепризнанному в мировой науке титулу «короля математики».
Сергей Петухов