Быков Анатолий Петрович родился 17 января 1960 года в селе Еловка Иркутской области. В 1987 году окончил Красноярский пединститут по специальности «физвоспитание».
Работал на заводе, преподавал в школе. В начале 1990-х основал фирму «Строительство, технологии, металл» (СМТ) на Красноярском алюминиевом заводе (КрАЗ). В 1992 году приобрел 10% акций КрАЗа, к 2000 году увеличил долю до 28%. Борьбу за контроль над заводом СМИ окрестили «первой алюминиевой войной», жертвами которой стали замгендиректора КрАЗа Вадим Яфясов и еще ряд предпринимателей. В 1996 году господин Быков вошел в совет директоров завода, в 1998-м стал его председателем. В СМИ он фигурировал как «самый авторитетный человек в Красноярском крае», известный также по кличкам Толя Бык и Челентано.
С 1997 года регулярно избирался в заксобрание Красноярского края (в последний раз — в 2011 году). На выборах главы региона в 1998 году поддержал Александра Лебедя, однако после его победы вступил с ним в открытый конфликт. В марте 1999 года по итогам инициированной господином Лебедем проверки против бизнесмена возбудили дело о занижении энерготарифов в пользу КрАЗа. Позже добавилось обвинение в убийстве бизнесмена Олега Губина, и Анатолий Быков скрылся в Венгрии.
В 1999 году был арестован и этапирован в Россию. В июне 2002 года Мещанский суд Москвы приговорил его к шести с половиной годам условно за организацию покушения на «авторитетного бизнесмена» Вилора Струганова (Паша Цветомузыка). В июле 2003 года он получил еще год за сокрытие следов убийства Олега Губина, но был амнистирован.
Во время нахождения господина Быкова под стражей контрольный пакет КрАЗа консолидировал «Русал», а после проведенной допэмиссии доля Анатолия Быкова в КрАЗе снизилась с 28% до 4%. Отстоять интересы в суде ему не удалось, в 2004 году структуры господина Быкова продали оставшиеся 4% «Русалу» за $107 млн.
В 2013 году возглавил красноярское отделение «Патриотов России». В том же году на выборах партия получила 14 мест в гордуме Красноярска против 12 у «Единой России». На выборах главы региона в 2014 году поддержанный Анатолием Быковым Иван Серебряков занял третье место (13,88%).