Коротко

Новости

Подробно

"Так же реально, как атом"

Владимир Тихомиров беседует с математиком Михаилом Цфасманом

Журнал "Огонёк" от , стр. 34

Поиск простых чисел стал настоящим спортом для тысяч математиков, а на кону состязаний стоит ответ на вопрос: какими быть компьютерам в ближайшие полвека?


На днях научный мир облетела сенсация: профессор Университета Центрального Миссури математик Кертис Купер, участник проекта распределенных вычислений GIMPS (Great Internet Mersenne Prime Search), нашел самое большое на сегодня простое число. Оно настолько велико, что состоит из 17 425 170 знаков, то есть, чтобы опубликовать данное число, не хватит страниц нашего журнала за весь год издания. "Огонек" решил выяснить, зачем математики всего мира ищут такие цисла, и обратился с этим вопросом к профессору Михаилу Цфасману, самому известному в России специалисту по простым числам.

— Итак, начнем с самого простого — с целых чисел,— начал свои объяснения Михаил Анатольевич, приготовившись писать фломастером на доске.— Это 1, 2, 3, 4, 5, 6 и так далее — до бесконечности. Целых чисел у нас бесконечно много, потому что если бы их было конечное количество, то мы бы взяли последнее число и прибавили к нему единицу, в результате чего мы бы получили еще одно число. Понятно, да?

Эти целые числа иногда делятся друг на друга: например, 6 — это 2, умноженное на 3. Однако есть и такие целые числа, которые ни на что, кроме себя и единицы, не делятся. Такие числа и называются простыми. Вот несколько таких чисел: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23... И так далее. Простых чисел, как доказал еще Евклид, также бесконечно много. Почему? Предположим, что где-то эта цепочка чисел оборвалась бы. Тогда мы все простые числа перемножим и прибавим к произведению единичку; получившееся число ни на одно из наших простых делиться не будет, значит, оно делится на какое-то новое простое число. Вот такое рассуждение от противного, которое прекрасно показывает, что простых чисел бесконечно много и самого большого простого числа просто не существует.

— Тогда что же нашли американские математики?

— Чтобы ответить на этот вопрос, нужно сначала понять, зачем вообще математики занимаются простыми числами. Во-первых, большие простые числа нужны для криптографии — простые числа лучше всего подходят для шифровки информации. Потому что в математике бывают операции, которые в одну сторону легкие, а в другую — трудные. И к таким операциям относится умножение простых чисел. К примеру, если мы возьмем два простых числа Р и Q, перемножим их друг на друга, то результат узнаем довольно быстро. Но если я дам вам большое целое число и скажу, что это произведение двух простых чисел, то понять, какие именно простые числа мы перемножали, вы не сможете. Также простые числа используются для построения генераторов псевдослучайных чисел — подобные генераторы используются во многих компьютерных программах, в том числе в играх, в построении моделей сложных систем и процессов.

Третья область — это собственно наука. Много столетий математики всего мира пытаются понять, насколько плотно простые числа сидят в ряду всех целых чисел. Грубый ответ мы знаем, о более тонких иногда догадываемся. Это одна из самых древних и трудных задач в математике. Наконец, это просто математический спорт.

— Спорт?

— Это спорт не столько самих математиков, сколько компьютеров — задача поиска больших простых чисел тестирует вычислительные возможности компьютеров. Предмет же этого спора таков: что лучше для проведения сложных вычислительных процессов — один большой суперкомпьютер или же десятки тысяч компьютеров и ноутбуков обычных пользователей, объединенных интернетом в единое вычислительное "облако". Если смотреть шире, то это вопрос о будущем векторе развития нашей цивилизации.

— Ну и кто же сегодня побеждает в этом споре?

— Все зависит от задач. К примеру, совсем недавно я беседовал с одним физиком, который сейчас при помощи компьютерных программ моделирует некоторые процессы, связанные с получением графена. И он говорит, что с решением подобных вычислительных задач куда лучше справляются суперкомпьютеры, нежели "облачные технологии". Причина тут проста: все вычисления немедленно натыкаются на антивирусные программы и систему безопасности, каждая из которых блокирует связь и проверяет, не хотим ли мы нанести вред компьютеру. Но это сугубо социальная проблема: если бы не было спама, компьютерных вирусов и хакеров, то, возможно, "облачные технологии" развивались бы гораздо быстрее.

— Кто придумал эти простые числа? И как происходит их поиск?

— Этот процесс связан с именем французского монаха Марена Мерсенна, философа, теолога и математика, который в 1648 году выпустил труд Cogitata Physica-Mathematica. В этом трактате он рассмотрел числа, на единицу меньшие степени двойки: 3, 7, 15, 31, 63, 127, 511 и так далее. Они могут быть простыми, только если степень — тоже простое число. Он предположил, что если показатель степени равен 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127, 257, то они простые. Предположение это оказалось неверным, но с тех пор числа, на единицу меньшие степени двойки, называются числами Мерсенна, а поиск простых чисел из этого ряда Мерсенна стал популярным развлечением среди математиков. Например, в 1878 году русский математик Иван Первушин доказал простоту числа Мерсенна для показателя 61. Затем интерес к поиску чисел Мерсенна стал спадать — расчеты стали слишком громоздкими, да и первые ЭВМ не могли справиться с таким потоком данных. Но сегодня поиски простого числа возобновились. И неважно, что мы никогда не сможем его увидеть, главное, что компьютеры подтвердили, что такое простое число существует — оно занимает 48-е место в списке Мерсенна.

— Когда будет открыто 49-е число?

— Вопрос простой, но ответить на него трудно. Будут искать, найдут.

— Еще накануне нашего интервью вы сказали, что не оцениваете открытие простых чисел как сенсацию. Какие же события в математике, на ваш взгляд, являются действительно интересными?

— Сегодня в математике наступает эпоха синтеза, когда различные области научного поиска начинают все больше и больше дополнять друг друга: алгебра и геометрия, геометрия и анализ, много задач нам подбрасывает теоретическая физика. Я все чаще вспоминаю исторический анекдот, как один наш математик, Дима Каждан, эмигрировал в Америку. И его попросили написать в резюме, в какой области математики работает. Этот вопрос поставил его в тупик: "Ну как, я собственно математикой занимаюсь". "А какой математикой?" — его спрашивают. "Да какой получится, такой и занимаюсь".

Беседовал Владимир Тихомиров


Охота за числами

Хроника

Математические парадоксы привлекали к себе внимание самых разных людей: от францисканских монахов до школьников и программистов. Вот лишь несколько энтузиастов, вписавших свои имена в историю теории простых чисел


1648 год — монах Марен Мерсенн выпускает труд Cogitata Physica-Mathematica, в котором составляет ряд показателей для нахождения простых чисел.

1772 год — швейцарский и русский математик Леонард Эйлер подтверждает теорию Мерсенна и находит 7-е число с показателем 19 (это 524 287).

1878 год — русский математик Иван Первушин нашел 9-е число с показателем 61 (оно равно 2 305 843 009 213 693 951).

1952 год — Рафаэль Робинсон на одном из первых компьютеров SWAC нашел сразу пять чисел Мерсенна — это было одной из первых демонстраций превосходства электронных устройств над ручными вычислениями.

1978 год — американские школьники Лора Никел и Лэндон Курт Нолл, не особо разбираясь в математических тонкостях вопроса, написали программу для проверки чисел Мерсенна на простоту с помощью теста Люка — Лемера и прогнали ее на суперкомпьютере в местном университете. В результате они смогли найти 25-е и 26-е простые числа Мерсенна.

1979 год — американский программист Дэвид Словински, работавший на суперкомпьютере Cray, рассчитал в течение нескольких лет 7 чисел. До сих пор это никем не побитый рекорд.

1997 год — для поиска простых чисел организован проект распределенных вычислений GIMPS (Great Internet Mersenne Prime Search). Первым, кто нашел число Мерсенна, стал Гордон Спенс, 38-летний IT-менеджер из графства Гемпшир в Великобритании, работавший на фирме по выпуску СВЧ-печей.

2005 год — профессор Университета Центрального Миссури математик Кертис Купер нашел свое первое простое число. А всего им было найдено три числа — еще в 2006 и 2013 годах.

Досье

Михаил Анатольевич Цфасман,

проректор по научной работе и профессор Независимого московского университета

В 1976 году окончил механико-математический факультет МГУ. Кандидатскую диссертацию защищал в Ленинградском отделении Математического института им. В.А. Стеклова АН СССР, работал в Институте проблем передачи информации АН СССР. С 2001 года — директор по исследованиям лаборатории в Institut de Mathematiques de Luminy, Национальный центр научных исследований (CNRS), Франция. Приглашенный исследователь в нескольких университетах США и Европы. С 2005 года — директор российско-французской Лаборатории по математике, информатике и теоретической физике им. Жана-Виктора Понселе. Автор более 60 научных работ.

Комментарии
Профиль пользователя