Александр Леонидович Мамут родился 29 января 1960 года в Москве в семье юристов. Отец — бывший представитель президента РФ в Конституционном совещании Леонид Мамут. В 1982 году Александр Мамут окончил юрфак МГУ. Четыре года проработал юрисконсультом в типографии, затем поступил в аспирантуру и устроился во Внешэкономбанк СССР.
В 1990 году учредил и возглавил юридическую фирму "АЛМ консалтинг" и адвокатское бюро АЛМ. Позже создал банки "Бизнес и сотрудничество" (с марта 1991 года — "Империал"), "Лефортовский", Межбиржевую кредитно-финансовую компанию, Компанию по проектному финансированию (КОПФ) и др. С 1993 года был совладельцем сети магазинов "Седьмой континент". В 1998-1999 годах — советник главы администрации президента РФ. В 2000-х годах занимался банковским, страховым, телекоммуникационным, издательским, нефтяным бизнесом, ритейлом. Входил в руководство Собинбанка, МДМ-Банка, "РЕСО-Гарантии", "Ингосстраха", "Тройки Диалог" и других компаний. С 2000 по 2008 год — член бюро правления РСПП. В 2001 году совместно с Олегом Дерипаской и Романом Абрамовичем основал Фонд содействия отечественной науке. В марте 2002 года стал одним из учредителей ЗАО "Шестой канал", владел 7,5% акций. Входил в состав совета по предпринимательству при правительстве Михаила Касьянова.
Бизнесмену принадлежат 50,1% "Евросети", около 6% новосибирской продуктовой сети "Холидей классик" (оба актива выставлены на продажу), более 61% акций продуктового ритейлера Spar, британская сеть книжных магазинов Waterstone's, около 50% интернет-компании SUP ("Газета.ру", LiveJournal и другие), более 60% издательской группы "Азбука-Аттикус", около 10% компании "Полиметалл". В 2012 году занял 40-е место в списке богатейших бизнесменов России журнала Forbes c состоянием в $2,1 млрд.
Был дважды женат, трое детей.