Фазовые переходы в двумерном мире, где их быть не может

Когда стали известны имена лауреатов Нобелевской премии по физике за 2016 год, физики стали говорить друг другу, что премия присуждена за "переход Костерлица—Таулеса". Третий лауреат, Дункан Халдейн, несомненно, выдающийся теоретик, известный работами по топологическим состояниям в одномерных цепочках и дробному эффекту Холла, все-таки видится несколько случайной фигурой в этой компании. Зато есть человек, которого нельзя не упомянуть — Вадим Львович Березинский.

К сожалению, нобелевскими лауреатами могут стать только живые люди. Иначе премия досталась бы и российскому ученому — Вадиму Львовичу Березинскому. В то время как в англоязычной литературе мы встречаем термин "переход Костерлица--Таулеса", российские ученые чаще говорят о переходе Березинского--Костерлица--Таулеса. Березинский — талантливый советский физик, обладавший выдающимися математическими способностями. Он занимался многими проблемами, но наиболее яркие результаты получил в теории фазовых переходов в двумерных системах и теории локализации в одномерных проводниках. Березинский умер в 1980 году, прожив всего 45 лет. Закончив физический факультет МГУ и аспирантуру МИФИ, он долгое время проработал в ведомственном НИИТеплоприборе и лишь последние три года жизни провел в Институте теоретической физики имени Ландау. Именно Березинский первым сформулировал основные моменты теории, которая в этом году отмечена Нобелевской премией. Будь он жив, безусловно, получил бы ее.

Вопросы приоритета очень сложны, и разбираться в них — дело неблагодарное. Позднее я все-таки выскажу ряд субъективных замечаний по поводу того, почему работа Березинского не получила такого признания, как результаты Костерлица и Таулеса, а сейчас скажу только, что в их основополагающей статье есть корректные ссылки на обе статьи Березинского на эту тему. Более того, в вышедшем в этом году обзоре Костерлица с выразительным названием "Физика Костерлица--Таулеса: основные вопросы" он пишет: "Дэвид и я поздравляли себя с открытием важной новой области физики, однако наша эйфория быстро растаяла. Нам сообщили, что Березинский рассматривал переход, вызываемый вихрями в сверхтекучей пленке, годом ранее, чем мы. Так как ни один из нас не знал русского, мы были в блаженном неведении об этой работе, пока мы разрабатывали основы физики переходов, вызываемых вихрями. По каким-то непонятным причинам наша работа вызвала гораздо больший отклик, чем работа Березинского". Комментарии на эту тему я приведу позднее, сейчас же отмечу, что ЖЭТФ ("Журнал экспериментальной и теоретической физики".— "Наука"), в котором была напечатана статья Березинского, и в то время исправно переводился на английский...

Теперь обратимся к теории Березинского--Костерлица--Таулеса. Фазовые переходы представляют собой одно из наиболее распространенных явлений, с которыми приходится сталкиваться как в обыденной жизни, так и в науке и технике. Каждый день мы наблюдаем кипение воды в чайнике. С наступлением зимы — замерзание воды, а весной — таяние льда. Это простейшие примеры фазовых переходов. Их можно множить до бесконечности — магнитные фазовые переходы обеспечивают запись информации в компьютерах, переходы в жидких кристаллах позволяют просматривать эту информацию на дисплеях. Синтез новых материалов при высоких давлениях и температурах (например, алмаза из графита) — это также фазовый переход. Есть и более изощренные примеры, как переход металла в сверхпроводящее состояние, когда он полностью теряет сопротивление или переход гелия-4 в сверхтекучую форму, когда пропадает вязкость. И так далее, вплоть до элементарных частиц и астрофизических объектов, до геофизики и биологии.

Фазовые переходы по стандартной классификации бывают двух типов — первого рода, когда свойства меняются скачком (например, плавление льда), и второго рода, непрерывные (например, переход из магнитного в немагнитное состояние).

Теория, описывающая физику фазовых переходов, была предложена в 1937 году Львом Ландау. Основным пунктом теории Ландау является введенное им представление о параметре порядка — величине, которая равна нулю выше температуры перехода, в неупорядоченной фазе, и возникает при переходе в упорядоченную. Параметр порядка характеризует нарушение симметрии при фазовом переходе. Простейший пример параметра порядка — намагниченность в ферромагнетике. При высоких температурах магнитные моменты свободно вращаются, намагниченности нет, все направления равноправны, система изотропна. Однако при понижении температуры, при некотором ее значении, спонтанно появляется ненулевая намагниченность, происходит фазовый переход в ферромагнитное состояние. Магнитные моменты направлены в основном в одну сторону. Теперь в системе есть выделенное направление (направление вектора намагниченности) — и она перестает быть изотропной, симметрия нарушилась.

Теория Ландау хорошо описывала экспериментальные факты, хотя не учитывала флуктуации параметра порядка. Самым ярким ее достижением оказалось описание сверхпроводимости, за которое в 2003 году Алексей Абрикосов и Виталий Гинзбург были удостоены Нобелевской премии. Вместе с тем к 60-м годам прошлого века стало ясно, что учет флуктуаций принципиален для описания поведения системы непосредственно вблизи фазового перехода второго рода. Это привело к созданию флуктуационной теории фазовых переходов (А. З. Паташинский, В. Л. Покровский, Л. Каданов, М. Фишер, К. Вильсон), за которую в 1982 году Кеннету Вильсону была присуждена Нобелевская премия. Эти и другие авторы обратили, в частности, внимание на роль размерности пространства, в котором происходит переход.

В работах Пайерлса, Ландау, а затем Боголюбова, Мермина и Вагнера было показано, что в двумерных системах с непрерывной симметрией (это, например, двумерные магнетики, сверхпроводники и двумерные кристаллы) флуктуации разрушают дальний порядок, то есть распространенное на всю систему ненулевое значение параметра порядка. Отсюда был сделан вывод, что в таких системах фазовый переход возможен только при нулевой температуре, когда тепловых флуктуаций нет.

Однако появились эксперименты — по сверхтекучести в тонких пленках жидкого гелия-4 при ненулевой температуре, а также результаты компьютерного моделирования, которые противоречили этим выводам.

Ясность была внесена как раз в работах Березинского, Костерлица и Таулеса. Березинский впервые показал, что, несмотря на отсутствие дальнего порядка, пленка жидкого гелия при достаточно низких температурах обладает свойством сверхтекучести. Двумерные кристаллы, несмотря на отсутствие дальнего трансляционного порядка, имеют конечный модуль сдвига, то есть представляют собой твердое тело. Двумерные магнетики оказывают сопротивление неоднородному повороту спинов.

Березинский понял общую природу этих явлений и дал им название поперечной жесткости, используемое сейчас в мировой литературе. Он показал, что в системах с поперечной жесткостью корреляционные функции, описывающие взаимное влияние параметров порядка в двух разных точках, хотя и стремятся при разнесении этих точек к нулю, но спадают медленно, по степенному закону.

Напомним, в "обычных" трехмерных системах возможны два случая. Если дальний порядок есть, то корреляционная функция при бесконечном удалении двух точек стремится к ненулевому пределу. В неупорядоченной же фазе, когда дальнего порядка нет, корреляции спадают экспоненциально быстро. Условно случай Березинского можно назвать промежуточным — стремлению к нулю, но медленное.

Новая фаза, иногда называемая фазой Березинского, принципиально отличается от того, что можно наблюдать в трех измерениях. Из-за медленного спадания корреляций об этой фазе говорят как о фазе с квазидальним порядком. Аналогичные результаты несколько позднее были получены Костерлицем и Таулесом.

Поскольку в низкотемпературной (с квазидальним порядком) и высокотемпературной (без него) фазах таких двумерных систем корреляции спадают по разным законам, между ними должен быть фазовый переход. Какой-то новый переход, отличный от стандартных переходов первого и второго рода. Возник вопрос о его механизме. Березинский первым обнаружил важную роль так называемых топологических дефектов при переходе: вихрей в пленке сверхтекучего гелия, дислокаций в двумерном кристалле, вихревых конфигураций в двумерном магнетике (X-Y-модель) (рис. 1) и дал качественное объяснение механизма перехода. При низких температурах дефекты образуют связанные пары, которые не разрушают квазидальний порядок. Однако при повышении температуры происходит распад, диссоциация связанных пар и образуются свободные дефекты, которые превращают квазидальний порядок в неупорядоченную фазу с быстрым экспоненциальным спаданием корреляций. Метод вычисления температуры перехода был развит уже в работах Костерлица и Таулеса.

Можно только поразиться таланту Вадима Березинского — он взялся за проблему, которой, по мнению большинства физиков в то время, и не существовало вовсе, и открыл новое направление. И это направление живет и развивается до сих пор. Работы Березинского нобелевского уровня послужили основой его кандидатской диссертации.

Теория Березинского--Костерлица--Таулеса (БКТ) нашла и продолжает находить применение при рассмотрении самых разных двумерных систем: сверхтекучих и сверхпроводящих пленок, магнитных и жидкокристаллических пленок, двумерных систем ультрахолодных атомов в ловушках и других.

Остановимся теперь на интересной и активно развивающейся проблеме плавления двумерных кристаллов. Еще в первоначальной работе Костерлиц и Таулес отметили, что двумерный кристалл должен плавиться посредством распада дислокационных пар. Дислокации в данном случае являются топологическими дефектами, при наличии квазидальнего трансляционного порядка эти дефекты хорошо определены. Однако, как было отмечено Мерминым, в двумерном кристалле, кроме квазидальнего трансляционного порядка, есть дальний ориентационный порядок, то есть порядок в направлениях векторов, соединяющих частицу с ее ближайшими соседями.

Как обнаружили позднее Хальперин и Нельсон, диссоциация дислокационных пар разрушает квазидальний трансляционный порядок, но не разрушает дальний ориентационный, а только превращает его в квазидальний. То есть возникает новая фаза, она получила название гексатической. В гексатической фазе существуют свободные дислокации, поэтому ее модуль сдвига равен нулю, то есть это жидкость с элементами упорядочения.

Заметим, что дислокацию можно рассматривать как связанную пару двух других дефектов — дисклинаций. Гексатическая фаза превращается в обычную изотропную жидкость в результате еще одного перехода БКТ посредством распада этих дисклинационных пар. Представленная теория носит название теории Березинского--Костерлица--Таулеса--Хальперина--Нельсона--Янга (BKTHNY). В рамках этой теории двумерный кристалл должен плавиться через два непрерывных перехода типа БКТ с промежуточной гексатической фазой (в трех измерениях плавление всегда есть один переход первого рода).

Теория BKTHNY представляется крайне привлекательной и даже универсальной. Однако в ней есть два момента, вызывающие сомнения: в ее рамках невозможно вычислить энергию ядра топологического дефекта, а также энергию взаимодействия между дисклинациями в гексатической фазе. Это вызвало поток публикаций, как экспериментальных, так и базирующихся на компьютерном моделировании. Эксперименты проводятся на широком круге объектов: двумерные коллоиды, электроны на поверхности жидкого гелия, атомы инертных газов на подложках, магнитные домены в тонкой пленке, вихри в высокотемпературных сверхпроводниках, пылевая плазма, тонкие пленки жидкостей и т. д. В настоящее время можно сделать вывод, что сценарий плавления двумерной системы кардинально зависит от вида взаимодействия между частицами. В частности, показано, что теория BKTHNY справедлива для систем с дальнодействующим взаимодействием. Для систем же с короткодействущими потенциалами плавление также происходит через два перехода с промежуточной гексатической фазой, однако только первый — из кристалла в гексатическую фазу идет в соответствии с теорией БКТ, а гексатическая фаза превращается в изотропную жидкость уже в результате перехода первого рода.

Двумерное плавление различных систем (в частности, систем с потенциалами, качественно описывающими аномальные свойства воды), активно изучается в нашем институте (Институте физики высоких давлений РАН) методами компьютерного моделирования. Удалось показать, что сценарий плавления может как соответствовать теории БКТ, так и качественно отличаться от нее. В настоящее время многое уже понятно в механизмах плавления двумерных систем, но очень многое еще предстоит понять.

В заключение я хотел бы вернуться к вопросу, который был задан в начале статьи: "Так почему статьи Костерлица и Таулеса вызвали больший отклик, нежели статьи Березинского?", и высказать личную точку зрения. Во-первых, есть очевидная объективная причина — хотя основные отечественные журналы переводятся на английский, читали и цитировали их и тогда мало, а сейчас еще меньше. Об этом свидетельствуют низкие импакт-факторы большинства наших журналов.

Однако, на мой взгляд, присутствует и субъективный фактор. Как писали позже некоторые из наших соотечественников, перебравшихся за рубеж, например Марк Азбель, среди части советских физиков существовали представления, что нужно донести свои идеи только до избранного круга понимающих людей, поэтому и статьи писались в расчете на этот круг. Как я уже говорил, Березинский демонстрировал выдающиеся математические способности (об этом мне рассказали знавшие его люди). В каком-то смысле это, на мой взгляд, сыграло негативную роль. В его статьях видно стремление доказать все результаты в строгой математически форме, а обсуждению физических "последствий" практически не уделяется внимания — три-четыре строчки по поводу "фазы Березинского" в первой статье, несколько строчек о роли вихрей во второй и т. д. В это же время статьи Костерлица и Таулеса производят впечатление популярного изложения идей Березинского (конечно, с учетом серьезного продвижения вперед по сравнению с его работами). Более того, как мне говорил Александр Паташинский, статью Березинского не поняли даже в редакции ЖЭТФ, куда он ее принес, и только заступничество Паташинского и Покровского помогло. Ни один нормальный физик-теоретик не будет отрицать важность уверенного владения математическим аппаратом, но не нужно и про физику забывать...

И еще по поводу математики: в конце одной из статей Костерлиц и Таулес приносят благодарность профессору Скайрму (T. H. R. Skyrme) — за помощь в приближенном решении нелинейного уравнения, описывающего двумерный кулоновский газ. Помог решить уравнение человек, имя которого знает сейчас любой физик — по названию открытого им нелинейного топологического возбуждения "скирмион".

Разрушение квазидальнего порядка

Механизм разрушения квазидальнего порядка в двумерных системах с непрерывной группой симметрии был изящно рассмотрен Костерлицем и Таулесом. Примером такой системы может служить классическая XY-модель, описывающая магнетик, в котором магнитные моменты имеют две компоненты S_x и S_y , расположенные в плоскости. Система описывается гамильтонианом:

где — угол между векторами S_i и S_j (i и j — ближайшие соседи), J — обменный интеграл. При низких температурах в системе существует квазидальний порядок, характеризуемый степенным убыванием корреляций, при высоких температурах корреляции спадают экспоненциально. Разрушение квазидальнего порядка происходит посредством образования в системе свободных топологических дефектов — вихрей (см. рис.1) ,

где интеграл берется по контуру вокруг вихря, Температура перехода может быть определена из простых энергетических соображений: энергия отдельного вихря может быть получена из (1) и имеет вид:

где a — постоянная решетки, L — размер системы. Изменение свободной энергии при появлении вихря равно ,

где

— энтропия вихря, которая пропорциональна логарифму площади системы, K_B — постоянная Больцмана. Величина

при

становится отрицательной, так что появление вихря становится энергетически выгодным.Эта простая картина, однако, не является полностью физически адекватной, так как связанные пары противоположно "заряженных" вихрей не разрушают квазидальний порядок и имеют конечную энергию. Такие пары могут существовать даже при низких температурах.

Механизм перехода Березинского--Костерлица--Таулеса представляет собой диссоциацию разреженного газа вихревых пар. Костерлиц и Таулес решили задачу об определении температуры перехода с помощью метода ренормгруппы. Следует отметить, что полученная таким образом с помощью метода ренормгруппы температура перехода совпадает с температурой, вычисленной выше из простых соображений, с заменой константы связи на ее перенормированное значение.

Валентин Рыжов, доктор физико-математических наук, заместитель директора Института физики высоких давлений РАН

Работа поддержана грантом РНФ 14-12-00820.